La Carta al Estudiante - Escuela de Matemática

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
´
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
Departamento Matem´atica Aplicada
I Ciclo-2015
La Carta al Estudiante
1
Informaci´
on General
Nombre del curso: Matem´
atica para econom´ıa y estad´ıstica I
Sigla: MA-0213
Naturaleza del curso: Te´
orico
Nro de horas presenciales: 5
Modalidad: Semestral
Cr´
editos: 4
Requisito: MA-0125
Correquisito: Ninguno
Estimado(a) estudiante:
Reciba una cordial bienvenida y esperamos que este curso contribuya significativamente a su formaci´on profesional. En este documento encontrar´a la informaci´on referente a la descripci´on, objetivos, contenidos, evaluaci´
on, cronograma y bibliograf´ıa del curso. Para el mejor aprovechamiento
de este curso, el estudiante debe contar con un manejo ´agil de los temas y contenidos de Prec´
alculo
que se detallan en http://diagnostico.emate.ucr.ac.cr/, la p´agina del examen de diagn´ostico en
matem´atica de esta universidad.
El curso tiene 4 cr´editos. De acuerdo con el Reglamento de R´egimen Acad´emico Estudiantil a 4
cr´editos corresponde una dedicaci´
on de 12 horas por semana para el estudiante. De estas 12 horas,
aproximadamente 4 horas corresponden a los per´ıodos de lecciones (250 minutos); en consecuencia,
8 horas corresponden a trabajo del estudiante fuera de clases. La informaci´on puede consultarse en
http://www.cu.ucr.ac.cr/normativ/definicion credito.pdf.
2
Objetivos generales del curso
• Conocer y aplicar la teor´ıa b´
asica del c´alculo diferencial e integral en una variable, para la
posterior resoluci´
on de problemas en econom´ıa, estad´ıstica y matem´atica.
• Conocer y utilizar adecuadamente el lenguaje y los razonamientos matem´aticos.
1
3
Objetivos espec´ıficos del curso
1. Enunciar y aplicar conceptos y propiedades de l´ımites, continuidad, derivadas, antiderivadas
integrales definidas, integrales impropias de funciones de una variable real.
2. Aplicar y demostrar teoremas que involucran conceptos de l´ımites, continuidad, derivaci´
on e
integraci´
on.
3. Calcular l´ımites, derivadas e integrales definidas e indefinidas de funciones.
4. Justificar los procedimientos realizados para el c´alculo de l´ımites, derivadas e integrales definidas
e indefinidas de funciones elementales.
5. Determinar la continuidad o discontinuidad de una funci´on.
6. Clasificar, en evitables o inevitables, las discontinuidades de una funci´on.
7. Determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, sus valores extremos relativos, los
intervalos en los que la gr´
afica de la funci´on es c´oncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos
de inflexi´
on.
8. Justificar los procedimientos empleados para determinar los intervalos de monoton´ıa de una
funci´on, sus valores extremos relativos, los intervalos en los que la gr´afica de la funci´
on es
c´oncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos de inflexi´on.
9. Determinar la ecuaci´
on de las as´ıntotas correspondientes a una funci´on.
10. Trazar la gr´
afica de una funci´
on.
11. Resolver problemas que requieran el c´alculo de derivadas de funciones reales.
12. Calcular el ´
area de la regi´
on del plano limitada por dos o m´as curvas.
13. Aplicar t´ecnicas b´
asicas para el estudio de la convergencia de integrales impropias.
3.1
Objetivos a evaluar en cada examen
A continuaci´
on se detallan los objetivos a evaluar en cada prueba parcial, para que el estudiante
tenga claro de antemano que debe conocer para cada prueba.
I parcial
1. Reconocer gr´
aficamente l´ımites (laterales, infinitos y al infinito).
∞
2. Calcular l´ımites (laterales, infinitos y al infinito) de las formas indeterminadas 00 , ∞
,∞−∞ y
0 · ∞ mediante f´
ormulas notables, factorizaci´on, racionalizaci´on, definici´on de valor absoluto,
l´ımites especiales, identidades trigonom´etricas y propiedades de los l´ımites.
3. Analizar la continuidad de una funci´on a partir de su gr´afica.
4. Clasificar los puntos de discontinuidad de una funci´on a partir de su gr´afica.
5. Analizar la continuidad de una funci´on a partir de su criterio, incluyendo casos de criterio
dividido.
2
6. Calcular derivadas de funciones algebraicas, trigom´etricas, trigonom´etricas inversas, logar´ıtmicas
y exponenciales a partir de la definici´on o de las propiedades.
7. Analizar la existencia de la derivada de una funci´on en un punto, a partir de su criterio,
incluyendo casos de criterio dividido.
II parcial
1. Calcular derivadas de orden superior a partir del criterio de la funci´on, incluyendo derivaci´
on
impl´ıcita y logar´ıtmica.
2. Calcular l´ımites usando la regla de l’Hopital.
3. Calcular la ecuaci´
on de la recta tangente a una curva dada, que contenga un punto dado
cualquiera, incluyendo funciones definidas impl´ıcitamente.
4. Calcular los puntos de una curva donde esta tiene una pendiente espec´ıfica.
5. Resolver problemas de razones de cambio.
6. Identificar los extremos absolutos y relativos de una funci´on a partir de su criterio utilizando
las derivadas de la funci´
on.
7. Calcular los puntos cr´ıticos y de inflexi´on de una funci´on a partir de su criterio.
8. Verificar si una funci´
on satisface las hip´otesis del teorema de Rolle y del valor medio en un
intervalo dado.
9. Determinar la monoton´ıa y concavidad de una funci´on a partir de los cuadros de variaci´
on de
las derivadas.
10. Calcular las as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas de una curva.
11. Desarrollar el estudio completo de una funci´on para hacer el trazo de su gr´afica. Esto incluye:
dominio, intersecciones con los ejes, as´ıntotas, monoton´ıa, concavidad, puntos cr´ıticos y de
inflexi´on y gr´
afica.
12. Resolver problemas de optimizaci´on donde se involucra conceptos geom´etricos, enfocados a
problemas estad´ısticos.
13. Calcular integrales indefinidas que requieran el uso de sus propiedades, f´ormulas de integraci´
on
b´asicas, identidades algebraicas y trigonom´etricas, as´ı como la t´ecnica de sustituci´on.
III Parcial
1. Calcular integrales definidas usando sumas de Riemann y el teorema fundamental del c´alculo.
2. Calcular integrales de funciones algebraicas, trigom´etricas, trigonom´etricas inversas, logar´ıtmicas
y exponenciales.
3. Calcular el ´
area bajo una curva o encerrada entre dos o m´as curvas.
4. Calcular integrales definidas e indefinicas usando las t´ecnicas de sustituci´on, fracciones parciales, sustituci´
on trigonom´etrica, e integraci´on por partes.
5. Estudiar la convergencia de integrales impropias de primera y segunda especie, usando la
definici´
on, as´ı como el criterio de comparaci´on al ´ımite.
3
4
Programa del curso
4.1
Tema 1. L´ımites y continuidad.
1. Reconocimiento gr´
afico y definici´
on formal de situaciones de l´ımite. Breve repaso de las gr´
aficas
de las funciones elementales: reconocimiento de situaciones de existencia e inexistencia de
continuidad y de l´ımite en gr´
aficas completas; justificaci´on.
2. L´ımites laterales hacia un punto.
3. Definici´
on formal de l´ımite y de continuidad de una funci´on en un punto; tipos de discontinuidad.
4. L´ımites infinitos (noci´
on intuitiva, definici´on formal), concepto de as´ıntotas verticales en un
punto. L´ımites al infinito: concepto, reconocimiento gr´afico y as´ıntotas horizontales hacia
infinito.
5. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas; an´alisis y justificaci´on de continuidad
de una funci´
on en un punto, en un conjunto; c´alculo de l´ımites; problemas con par´ametros.
6. Teorema para el cambio de variable y l´ımites 0/0.
4.2
Tema 2. Razones de cambio y derivadas.
1. Situaciones de l´ımite que conducen a un mismo concepto matem´atico: valor de la derivada de
f para un valor x = a dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de razones de
cambio.
2. Definici´
on de la funci´
on derivada en un intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad.
Reconocimiento gr´
afico de la derivabilidad mediante definici´on de derivada en un punto,
an´alisis de existencia e inexistencia del valor f 0 (x) para un valor x = a dado.
3. Derivadas de las funciones b´
asicas (sin demostraci´on de las derivadas de seno, exponencial y
logaritmo natural).
4. Existencia y f´
ormulas de la derivada de la suma (resta), producto y divisi´on de funciones
derivables en un valor dado x = a.
5. A partir de la derivada de sinx, deducci´on de las derivadas de las dem´as funciones trigonom´etricas.
6. Visualizaci´
on de l´ımites como derivadas. Derivada de una funci´on compuesta (Regla de la
cadena).
7. Derivadas de orden superior. Visualizaci´on de l´ımites como cocientes de derivadas. Demostraci´
on de la Regla elemental de L’Hopital. Aplicaciones a l´ımites trigonom´etricos y
exponenciales.
8. Regla de la Cadena y problemas b´asicos de razones de cambio relacionadas.
9. Regla de la Cadena y derivaci´
on impl´ıcita, derivaci´on de funciones inversas.
10. Derivaci´
on logar´ıtmica.
4
4.3
Tema 3. Teoremas de funciones continuas en un intervalo cerrado.
1. Teorema de los Valores intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones.
2. Teorema de Valores Extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado.
3. Teorema d Fermat; optimizaci´
on de funciones continuas en intervalos cerrados.
4. Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio: justificaci´on intuitiva y justificaci´on formal.
5. Corolarios sobre antiderivadas y: definici´on, c´alculo y gr´aficas de antiderivadas; concepto de
ecuaciones diferenciales, resoluci´
on.
6. Corolarios del TVM para determinar monoton´ıa y concavidad. Relaci´on entre las gr´aficas de
una funci´
on y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gr´aficas de funciones; condiciones de
primero y segundo orden para optimizaci´on sobre intervalos abiertos.
4.4
Tema 4. Integraci´
on.
1. Antiderivadas e integral indefinida. Propiedades.
2. C´alculo de diferenciales y c´
alculo de antiderivadas o integrales indefinidas por sustituci´on.
3. Integraci´
on por partes y fracciones parciales.
´
4. Areas
bajo curvas positivas. La distancia recorrida como el ´area bajo la curva de velocidad
positiva.
5. Sumas de Riemann, introducci´
on a l´ımites de sucesiones y a series. Integral definida.
6. Propiedades b´
asicas. Teorema fundamental del c´alculo: c´alculo de integrales definidas. Teorema fundamental del c´
alculo: Funciones definidas mediante integrales; derivaci´on y propiedades.
El Teorema del cambio total.
7. C´alculo del ´
area bajo una curva, y ´area entre curvas.
8. Definici´
on de integrales impropias e introducci´on al an´alisis de convergencia de integrales
impropias de primera y de segunda especie; teor´ıa y ejemplos.
9. Definici´
on de la funci´
on logaritmo natural como integral definida; introducci´on a la deducci´
on
de propiedades de funciones logar´ıtmicas y exponenciales.
5
5
Cronograma
Este cronograma es una gu´ıa de la distribuci´on por semana de los contenidos del curso, cada profesor
est´a en libertad de exponer los conceptos y realizar la pr´actica que considere necesaria seg´
un su estilo
y en el orden que desee, siempre que no altere los contenidos que debe cubrir cada examen parcial.
# Semana
1
Fechas
Del 09/03 al 13/03
2
Del 16/03 al 20/03
3
Del 23/03 al 27/03
4
5
Del 30/03 al 03/04
Del 06/03 al 10/04
6
Del 13/04 al 17/04
7
Del 20/04 al 24/04
Temas
Reconocimiento gr´afico y definici´on formal de situaciones de
l´ımite. Breve repaso de las gr´aficas de las funciones elementales: reconocimiento de situaciones de existencia e inexistencia de continuidad y de l´ımite en gr´aficas completas; justificaci´on. L´ımites laterales hacia un punto. Definici´on formal
de l´ımite y de continuidad de una funci´on en un punto; tipos
de discontinuidad.
L´ımites infinitos (noci´on intuitiva, definici´on formal), concepto de as´ıntotas verticales en un punto. L´ımites al infinito: concepto, reconocimiento gr´afico y as´ıntotas horizontales hacia infinito. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas; an´alisis y justificaci´on de continuidad de
una funci´on en un punto, en un conjunto; c´alculo de l´ımites;
problemas con par´ametros.
Teorema para el cambio de variable y l´ımites 0/0. Situaciones de l´ımite que conducen a un mismo concepto
matem´atico: valor de la derivada de f para un valor x = a
dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de
razones de cambio. Definici´on de la funci´on derivada en un
intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad. Reconocimiento gr´afico de la derivabilidad mediante definici´
on
de derivada en un punto, an´alisis de existencia e inexistencia
del valor f 0 (x) para un valor x = a dado.
Semana Santa
Derivadas de las funciones b´asicas (sin demostraci´on de las
derivadas de seno, exponencial y logaritmo natural). Existencia y f´ormulas de la derivada de la suma (resta), producto
y divisi´on de funciones derivables en un valor dado x = a.
A partir de la derivada de sinx, deducci´on de las derivadas
de las dem´as funciones trigonom´etricas. Visualizaci´on de
l´ımites como derivadas. Derivada de una funci´on compuesta
(Regla de la cadena). Derivadas de orden superior. Visualizaci´on de l´ımites como cocientes de derivadas. Demostraci´on de la Regla elemental de L’Hopital. Aplicaciones
a l´ımites trigonom´etricos y exponenciales.
Regla de la Cadena y derivaci´on impl´ıcita, derivaci´on de
funciones inversas. Derivaci´on logar´ıtmica.
6
# Semana
8
Fechas
Del 27/04 al 01/05
9
Del 04/05 al 08/05
10
Del 11/05 al 15/05
11
12
Del 18/05 al 22/05
Del 25/05 al 29/05
13
Del 01/06 al 05/06
14
15
Del 08/06 al 12/06
Del 15/06 al 19/06
16
Del 22/06 al 26/06
17
Del 29/06 al 03/07
Temas
Teorema de los Valores intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones. Teorema de Valores Extremos
para funciones continuas en un intervalo cerrado. Teorema
d Fermat; optimizaci´on de funciones continuas en intervalos
cerrados.
Corolarios sobre antiderivadas y: definici´on, c´alculo y
gr´
aficas de antiderivadas; concepto de ecuaciones diferenciales, resoluci´on. Corolarios del TVM para determinar
monoton´ıa y concavidad. Relaci´on entre las gr´aficas de una
funci´on y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gr´aficas
de funciones; condiciones de primero y segundo orden para
optimizaci´on sobre intervalos abiertos. Antiderivadas e integral indefinida. Propiedades.
C´
alculo de diferenciales y c´alculo de antiderivadas o integrales indefinidas por sustituci´on.
Integraci´on por partes y fracciones parciales.
´
Areas
bajo curvas positivas. La distancia recorrida como
el ´area bajo la curva de velocidad positiva. Sumas de Riemann, introducci´on a l´ımites de sucesiones y a series. Integral definida.
Propiedades b´asicas. Teorema fundamental del c´alculo:
c´
alculo de integrales definidas. Teorema fundamental del
c´
alculo: Funciones definidas mediante integrales; derivaci´
on
y propiedades. El Teorema del cambio total.
C´
alculo del ´area bajo una curva, y ´area entre curvas.
Definici´on de integrales impropias e introducci´on al an´alisis
de convergencia de integrales impropias de primera y de segunda especie; teor´ıa y ejemplos.
Definici´on de integrales impropias e introducci´on al an´alisis
de convergencia de integrales impropias de primera y de segunda especie; teor´ıa y ejemplos.
Definici´on de la funci´on logaritmo natural como integral
definida; introducci´on a la deducci´on de propiedades de funciones logar´ıtmicas y exponenciales.
7
6
Evaluaci´
on
Se realizar´a tres pruebas cortas y tres ex´amenes parciales. Cada prueba corta tendr´a un valor de
5%. Las pruebas cortas se llevaran a cabo una semana antes de cada prueba parcial, las fechas se
comunicaran en la p´
agina del curso. As´ı, los estudiantes ser´an evaluados sumativamente a partir de
su desempe˜
no en:
Rubro
I Parcial
II Parcial
III Parcial
Pruebas cortas
NA
6.1
Calendario de ex´
amenes
Examen
I Parcial
Repo I Parcial
II Parcial
Repo II Parcial
III Parcial
Repo III Parcial
Ampliaci´
on
Suficiencia
6.2
%
20
30
35
15
100
Fecha
Mi´ercoles 29 de abril
Mi´ercoles 6 de mayo
Mi´ercoles 3 de junio
Mi´ercoles 10 de junio
Lunes 6 de julio
Martes 7 de julio
Martes 14 de julio
Martes 14 de julio
Hora
8:00 am
5:00 pm
8:00
1:00 pm
1:00 pm
1:00 pm
1:00 pm
1:00 pm
Contenidos
1.1-2.7
1.1-2.7
2.8-4.2
2.8-4.2
4.3-4.9
4.3-4.9
Todos
Todos
Reporte de la nota final
Para efectos de promoci´
on rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la nota de aprovechamiento NA indicada arriba, expresada en una escala de 0 a 10, redondeada, en enteros y fracciones
de media unidad, seg´
un el reglamento vigente:
• Si NA ≥ 6.75 el estudiante gana el curso con calificaci´on NA redondeada a la media m´as pr´oxima,
los casos intermedios como 7.25 se redondean hacia arriba, es decir, 7.5
• Si 5.75 ≤ NA < 6.75, el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliaci´on, en el
cual se debe obtener una nota superior o igual a 7 para aprobar el curso con nota 7, en caso
contrario su nota ser´
a 6.0 o 6.5, la m´as cercana a NA.
• Si NA < 5.75 pierde el curso.
• La calificaci´
on final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Informaci´on, en la escala
de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad.
6.3
Disposiciones para la realizaci´
on de las evaluaciones
El estudiante debe presentarse puntualmente el d´ıa del examen en el aula que fue asignada a su
grupo.
El estudiante debe traer un cuadernillo de examen y bol´ıgrafo de tinta azul o negra, no se
permitir´a hojas sueltas. Tambi´en es indispensable portar alg´
un tipo de identificaci´on con foto
(c´edula, licencia de conducir o carn´e universitario) de lo contrario no podr´
a realizar la prueba. En
8
los ex´amenes de este curso se permite u
´nicamente el uso de calculadoras cient´ıficas que no sean
programables y que no sean graficadoras.
6.4
Ex´
amenes y pruebas cortas de reposici´
on
Aquellos casos de estudiantes con ausencia justificada a un examen o prueba corta, tales como enfermedades (con justificaci´
on m´edica), o choques de ex´amenes (con constancia del Sr. coordinador
respectivo), o casos de giras (reportados por escrito) y con el visto bueno del ´organo responsable,
podr´an realizar el examen o prueba corta de reposici´on. Para solicitar el examen o prueba corta
de reposici´on debe llenar la boleta de justificaci´on (se solicita en la secretar´ıa de la Escuela de
Matem´atica), con esta adjuntar la respectiva constancia y entregarla al profesor del grupo correspondiente en los cinco d´ıas h´
abiles siguientes despu´es de realizada la prueba ordinaria. S´
olo
los estudiantes autorizados mediante este proceso pueden realizar el examen o prueba corta de
reposici´on. La entrega de los documentos no implica la autorizaci´on para hacer el examen o prueba
corta de reposici´
on, el profesor debe aprobar la autorizaci´on una vez revisada la documentaci´on. La
fecha de reposici´
on de la prueba corta ser´a establecida una vez autorizada la misma.
6.5
Calificaci´
on de ex´
amenes
El profesor debe entregar a los alumnos los ex´amenes calificados y sus resultados, a m´as tardar 10
d´ıas h´abiles despu´es de que este se realiz´o, de lo contrario, el estudiante podr´a presentar reclamo
ante la coordinaci´
on de la c´
atedra.
La p´erdida comprobada de un examen por parte del profesor da derecho al estudiante a una nota
equivalente al promedio de sus calificaciones en los otros dos ex´amenes, o a criterio del estudiante,
a repetir el examen.
7
Horas de consulta
Cada profesor de la c´
atedra dispone de un horario de consulta, para atender a los estudiantes en sus
dudas respecto a la materia del curso, as´ı como los ejercicios propuestos para cada secci´on. Cabe
aclarar que los estudiantes pueden ir a consulta con cualquier profesor de la c´atedra, en el horario
que le sea m´
as favorable. Los horarios de consulta se detallan a continuaci´on:
• Jerem´ıas Ram´ırez Jim´enez, Lunes, de 9:30 am a 12:30 pm, Oficina 310 Edificio Nuevo de
Matem´
atica.
• Cristian Alfaro Carvajal, Viernes, de 3:00 pm a 5:00 pm.
8
Avisos y contacto
Cualquier informaci´
on importante relativa al curso ser´a comunicada por la p´agina del curso en
Facebook, el nombre de la p´
agina es Ma0213ucr, en la misma se pondr´a a disposici´on de los
estudiantes este documento, as´ı como las listas adicionales de ejercicios. tambi´en los avisos relativos
a pruebas cortas y parciales, y cualquier otro de importancia. Los avisos relativos a las aulas de
ex´amenes tambi´en ser´
an publicados en la pizarra de la c´atedra, en el segundo piso del edificio de
F´ısica y Matem´
aticas.
9
9
Estudiaderos
El CASE pone a disposici´
on los estudiaderos, estos se llevan a cabo los mi´ercoles a partir de las
8:00 am, y son atendidos por asistentes, en su mayor´ıa estudiantes avanzados de varias carreras,
quienes est´an a disposici´
on para atender dudas de diversas ´areas, en temas de teor´ıa y de ejercicios.
Se desarrolla en el aula 102 de F´ısica y Matem´atica durante todo el semestre.
10
Profesores de la c´
atedra
Grupo
1
2
11
Profesor
Jerem´ıas Ram´ırez Jim´enez (Coord)
Cristian Alfaro Carvajal
Horario
jeremias.ramirez@ucr.ac.cr
cristian.alfaro.carvajal@una.cr
Referencias
Las referencias incluidas en esta carta constituye una gu´ıa para el profesor y el estudiante en
cuanto al nivel de presentaci´
on de los temas incluidos en el programa.
El profesor puede ampliarla con otros libros de referencia de su preferencia.
[1] Edwards, C; Penney, D. C´
alculo con trascendentes tempranas, S´etima edici´on, Pearson education. M´exico, 2008.
[2] Haeussler, F; Paul, R; Wood, R. Matem´
aticas para administraci´
on y econom´ıa, Doceava
edici´on, Pearson education. M´exico, 2008.
[3] Larson, R; Hostetler, R; Edwards, B. C´
alculo con geometr´ıa anal´ıtica. Segunda edici´
on,
McGraw-Hill. M´exico, 2006.
[4] Stewart, J. C´
alculo. Trascendentes tempranas, Thomson. 2008.
[5] Sydsaeter, K; Hammond, P. Matem´
aticas para el an´
alisis econ´
omico, Prentice Hall. Madrid,
1996.
10