Serie 5

D-MATH
Prof. Dr. M. Schweizer
Mass und Integral
FS 2015
Serie 5
1. Beweisen Sie Proposition II.1.7.
Ist (Ω, A) ein messbarer Raum, so sind für f : Ω →
R äquivalent:
1. f ist messbar.
R.
{f < c} ∈ A , ∀c ∈ R.
2. {f ≤ c} ∈ A , ∀c ∈
3.
R dicht in R.
{f < b} ∈ A , ∀b ∈ D, D ⊆ R dicht in R.
{f ∈ E 0 } ∈ A , ∀E 0 ⊆ R offen.
{f ∈ E 00 } ∈ A , ∀E 00 ⊆ R abgeschlossen.
{a < f ≤ b} ∈ A , ∀a, b ∈ R , a < b.
{f ≥ c} ∈ A , ∀c ∈ R.
{f > c} ∈ A , ∀c ∈ R.
˜ D
˜⊆
4. {f ≤ b} ∈ A , ∀b ∈ D,
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2. Sei f :
R → R eine stetig differenzierbare Funktion und
A := {x ∈ R : f 0 (x) = 0} .
Zeigen Sie, dass f (A) eine Lebesgue-Nullmenge ist.
R
R
Rn). Die Funk-
3. Seien µ ein Borelmass auf n (d.h. ein Mass auf B( n )) und G ∈ B(
tion F : G × → genüge der Carathéodory-Bedingung, d.h.
R R
R ist µ-messbar für alle u ∈ R,
F (x, ·) : R → R ist stetig für µ-fast alle x ∈ G, d.h.
i) F (·, u) : G →
ii)
{x ∈ G : u 7→ F (x, u) ist nicht stetig} ⊆ N
Rn) mit µ(N ) = 0.
für eine Menge N ∈ B(
Bitte wenden!
Sei weiter u : G →
R messbar. Zeigen Sie, dass
f (x) := F (x, u(x))
˜ für ein
µ-fast messbar ist, d.h. es gibt eine messbare Funktion f˜ mit {f 6= f˜} ⊆ N
n
˜ ∈ B( ) mit µ(N
˜ ) = 0. (Insbesondere: Falls µ vollständig ist, so ist f messbar.)
N
R
• Vorbesprechung: Diese Serie wird am 20.03.2015 in den Übungen vorbesprochen.
• Abgabetermin: Bis 25.03.2015, 12 Uhr, im Vorraum zum HG F 28.
• Testatbedingung: Keine; der Inhalt der Übungen gehört aber auch zum Prüfungsstoff.
• Präsenz: Mo, Mi und Do ist die Präsenz im HG G 19.1 oder HG G 19.2 zwischen 12
und 13 Uhr. Dort werden fachliche Fragen zur Vorlesung und den Übungen beantwortet.
Übungsgruppen
Assistent
Alexandru-Dumitru Paunoiu
Igor Uljarevic
José Luis Hablützel Aceijas
Louis Correia Soares
Ort
HG D 5.1 (EN)
HG E 33.5 (EN)
HG D 3.3 (DE)
HG D 3.1 (DE)
Zeit
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Informationen zur Vorlesung und den Übungen sind unter:
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/math/massuint
Bei Fragen zu den Übungen oder dem Übungsbetrieb wendet euch an:
Luca Galimberti, [email protected]