Mínimos Cuadrados

Mínimos Cuadrados
Método para aproximar una función polinomial a un conjuntos de datos.
APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS
 En los métodos de Interpolación
vistos anteriormente , se enfocaba
en encontrar un polinomio de
aproximación que pasara por la
mayoría o todos los puntos dados
de forma tabular.
 En el método de aproximación
polinomial con mínimos cuadrados
lo que se pretende es determinar la
mejor curva que cumpla con el
criterio de que las suma de las
distancias calculadas entre el valor
de la función que aproxima P(Xi) y el
valor de la función f(Xi) dada en la
tabla sea mínima.
Aprox. Polinomial PRIMER GRADO
Si usamos:
Ecuación a
minimizar
PARA MINIMIZARLA PROCEDEMOS A DERIVAR PARCIALMENTE CON
RESPECTO A a0 y a1
 DONDE LOS VALORES de a0 y a1 se encuentran a partir de resolver un
sistema de dos ecuaciones con dos incognitas
EJEMPLO: Polinomio de Primer Grado
Se construye la tabla:
Sustituyendo en:
SUSTITUYENDO LOS
VALORES DE LA TABLA
ANTERIOR
(5 )a0 + 18 a1 = 0.928
(18 )a0 + 98 a1 = 3.986
Encontramos los coeficientes y el polinomio de grado 1, donde x es la fuerza en Kgf, y
p(x) la elongación en metros.
 Si nos pidieran interpolar para algún valor de x, solo
sustituimos el valor en el polinomio anterior.
 CALCULE EL VALOR INTERPOLADO DE LA LONGITUD DEL RESORTE POR UN
POLINOMIO DE GRADO 1 CON MÍNIMOS CUADRADOS, PARA UNA FUERZA
DE 4 Kgf. Es decir, X=4
P(x)= 0.11564 + 0.019434 4 = 0.193376
longitud= 0.193376m
OCTAVE lo hace mas fácil y rápido…
con la función polyfit(x,y,1)
Aprox. Polinomial SEGUNDO GRADO
Ejemplo, polinomio grado 2
Se construye la tabla:
 Si nos pidieran interpolar para algún valor de x, solo
sustituimos el valor en el polinomio anterior.
 Calcule el valor interpolado del calor especifico para
una temperatura de 800K
P2(x)= 19.29544 + 0.053728 800 − 2.0878710
P2(x)=48.915207
−5
800
2
OCTAVE lo hace mas fácil y rápido…
con la función polyfit(x,y,2)
PROBLEMAS .
 Problema 1. Las densidades de las soluciones acuosas del ácido sulfúrico
varían con la temperatura y la concentración de acuerdo a la tabla. a)
Calcule la aproximación por mínimos cuadrados con un polinomio de
grado 1, para la concentración de 5 y 40 %. b)encuentre los valores
aproximados de la densidad para las concentraciones anteriores y a una
temperatura de 50 °C
 Problema 2. En una reacción química la concentración del producto Cb
cambia con el tiempo como se indica en la tabla de abajo. Calcule la
concentración Cb cuando t=0.82, usando una aproximación polinomial de
grado 1 por método de mínimos cuadrados. Determine el polinomio de
aproximación
 PROBLEMA 3. En la tabla siguiente donde I es la corriente y v es el voltaje
consumido por un arco magnético, aproxime el valor de v para i=3.5, por
un polinomio de grado 1 usando el método de mínimos cuadrados y
compare con el valor dado por la fórmula empírica
 = 30.4 + 90.4  −0.507
Tarea.
Para los problemas anteriores:
a)Encuentre la aproximacion polinomial
con mínimos cuadrados de grado 2.
b)Resuelva las interpolaciones anteriores
usando un polinomio de grado 2