Serie 7

D-MATH
Prof. Dr. M. Schweizer
Mass und Integral
FS 2015
Serie 7
1. Geben Sie Beispiele, die zeigen, dass für eine Funktion f :
Aussage die andere impliziert:
R → R keine folgende
1. f ist fast überall stetig.
2. Es gibt eine stetige Funktion g mit f = g fast überall.
2. Seien fn : Ω → [−∞, ∞], n ∈
N messbar.
1
a) Zeigen Sie: Gilt fn ≥ g µ-f.ü. für jedes n mit g ∈ L (µ), so folgt
Z
Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ .
(1)
n
n
b) Zeigen Sie: Ohne die zusätzliche Voraussetzung ist (1) im Allgemeinen falsch.
3. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum, Y eine Menge und ϕ : Ω → Y eine Abbildung.
Wir definieren den Pushforward von A als die σ-Algebra
ϕ∗ A := B ⊆ Y : ϕ−1 (B) ∈ A ⊆ 2Y
und den Pushforward von µ als die Abbildung ϕ∗ µ : ϕ∗ A → [0, ∞], so dass
ϕ∗ µ(B) := µ(ϕ−1 (B)) .
a) Zeigen Sie, dass (Y, ϕ∗ A, ϕ∗ µ) ein Massraum ist.
b) Zeigen Sie, dass ϕ∗ A die grösste σ-Algebra Y auf Y ist, für die ϕ A−Y-messbar
ist.
c) Zeigen Sie, dass f : Y → [−∞, ∞] ϕ∗ A-messbar ist genau dann, wenn f ◦ ϕ :
Ω → [−∞, ∞] A-messbar ist.
d) Sei f : Y → [0, ∞] ϕ∗ A-messbar. Zeigen Sie die Transformationsformel
Z
Z
f (ϕ(ω)) dµ(ω) =
f (y) dϕ∗ µ(y) .
Ω
(2)
Y
Bitte wenden!
e) Zeigen Sie, dass (2) auch dann gilt, wenn Y ⊆ 2Y eine σ-Algebra auf Y , ϕ
A − Y-messbar und f Y-messbar ist.
R
4. Seien −∞ < a < b < ∞ und f : [a, b] → . Eine Zerlegung σ von [a, b] ist eine
endliche Folge a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Wir definieren
n
X
(xi − xi−1 ) sup {f (y) : y ∈ [xi−1 , xi ]}
U (σ) =
i=1
und
L(σ) =
n
X
(xi − xi−1 ) inf {f (y) : y ∈ [xi−1 , xi ]}
i=1
und sagen, dass f grosszügig Riemann-integrierbar ist, falls
∞ > inf U (σ) = sup L(σ) > −∞
σ
σ
gilt.
a) Beweisen Sie mit Hilfe des Hinweises (H), dass eine grosszügig Riemann-integrierbare
Funktion f auf [a, b] beschränkt und fast überall stetig ist.
b) Beweisen Sie auch den Hinweis (H) (fakultativ).
Hinweis:
i) Betrachten Sie die Funktionen
un (x) = sup f (y) : |x − y| < 2−n , y ∈ [a, b]
vn (x) = inf f (y) : |x − y| < 2−n , y ∈ [a, b] .
Sie sind beziehungsweise unterhalbstetig und oberhalbstetig, d.h. für alle x0 ∈
gilt
lim inf un (x) ≥ un (x0 )
R
x→x0
und
lim sup vn (x) ≤ vn (x0 ) .
x→x0
(H) Die Funktionen un und vn sind messbar.
ii) Betrachten Sie
f 0 (x) = lim un (x),
n
f0 (x) = lim vn (x) .
n
0
Dann gilt f (x) ≥ f0 (x) mit Gleichheit genau dann, wenn x ein Stetigkeitpunkt
von f ist.
Siehe nächstes Blatt!
• Abgabetermin: Bis 15.04.2015, 12 Uhr, im Vorraum zum HG F 28.
• Testatbedingung: Keine; der Inhalt der Übungen gehört aber auch zum Prüfungsstoff.
• Präsenz: Mo, Mi und Do ist die Präsenz im HG G 19.1 oder HG G 19.2 zwischen 12
und 13 Uhr. Dort werden fachliche Fragen zur Vorlesung und den Übungen beantwortet.
Übungsgruppen
Assistent
Alexandru-Dumitru Paunoiu
Igor Uljarevic
José Luis Hablützel Aceijas
Louis Correia Soares
Ort
HG D 5.1 (EN)
HG E 33.5 (EN)
HG D 3.3 (DE)
HG D 3.1 (DE)
Zeit
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Informationen zur Vorlesung und den Übungen sind unter:
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/math/massuint
Bei Fragen zu den Übungen oder dem Übungsbetrieb wendet euch an:
Luca Galimberti, [email protected]