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制御工学 (第 12 回) (rev.1, 2014.7.9)
6
A–6–1
課題 (2014.6.27) 解答例
□問題 1. 次の伝達関数 G(s) のゲイン特性を折れ線近似で描きなさい.
(2009.7.31 実施,期末試験問題)
G(s) =
20(1 + 2s)
s(1 + 10s)(1 + 0.2s)(1 + 0.05s)
• ヒント:まず,周波数伝達関数 G(jω) に書き直す.
(解答例) s → jω の置き換えを行い,周波数伝達関数に書き直すと,
G(jω) = 20
1 + 2jω
jω(1 + 10jω)(1 + 0.2jω)(1 + 0.05jω)
問題の周波数伝達関数は,既に標準形になっている.
折れ点周波数は,次の通り(単位はいずれも [rad/s]).
分母 jω から ω = 0;(1 + 10jω) から ω = 1/10 = 0.1;(1 + 0.2jω) から ω = 1/0.2 = 5;(1 + 0.05jω) から
ω = 1/0.05 = 20
分子 (1 + 2jω) から ω = 1/2 = 0.5
これを低いほうから並べ替えて,折れ点周波数ではさまれた各区間の傾きを調べると,次のようになる.
9:*
*
9:*
9:*
A:*
[email protected]*
9:*
9:*
9:*
[email protected]*
9C*
*
*67
*68
8
:*
45
45
4B
45
45
;< -0=10>?3
+ -./0123
次に特定の角周波数におけるゲインを近似計算する.ω = 0.01 では,1+ 2jω ≈ 1, 1+ 10jω ≈ 1, 1 + 0.05jω ≈ 1
と近似できて,
20 20 = 20 log10 2 + 20 log10 103 = 66 dB
20 log10 |G(jω)| ≈ 20 log10 = 20 log10 jω
0.01j 以上の結果を折れ線近似でグラフに描くと,次のようになる.
T*
UU WX
C*
Y Z[
WX\W
]^
Y_
[W
@*
X\
W]
^
PQRS -0=3
:*
Y Z[
WX\W
]^
*
Y_
[W
X\
W]
^
9 :*
Y
9 @*
U[
WX
\W
]^
9 C*
9 T*
*6*7
*67
[`a
7
O -./0123
a
7*
Z[
7**
···
(答)
制御工学 (第 12 回) (rev.1, 2014.7.9)
A–6–2
【解説】
ボード線図のゲイン特性を折れ線近似で描く問題である.参考までに,計算機で計算したゲイン特性(グレー
の太線)と上の折れ線近似による特性の比較を示す.折れ線近似の特性と,ほぼ一致していることが分かる.
T*
UU WX
C*
Y Z[
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PQRS -0=3
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