Serie 8

D-MATH
Prof. Dr. M. Schweizer
Mass und Integral
FS 2015
Serie 8
1. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum mit µ(Ω) < ∞ und L0 (µ) die Menge aller Äquivalenzklassen von messbaren Funktionen f : Ω → . Betrachten Sie die Abbildung
R
R
d : L0 (µ) × L0 (µ) → ,
Z
|f − g|
dµ .
(f, g) 7→
1 + |f − g|
Zeigen Sie:
a) d ist eine Metrik auf L0 (µ).
b) fn → f µ-stochastisch ⇐⇒ limn d(fn , f ) = 0.
2. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum und f : Ω × (a, b) →
alle t ∈ (a, b) die Abbildung
Ω 3 ω 7→ f (ω, t)
R
µ-integrierbar ist. Sei dann K(t) := f (ω, t) dµ.
R eine Abbildung, so dass für
Nehmen Sie an, dass eine Menge A ∈ A mit µ(Ac ) = 0 existiert, für die gilt, dass die
Abbildung t 7→ f (ω, t), ω ∈ A, differenzierbar auf (a, b) ist. Nehmen Sie auch an,
dass
|f 0 (ω, t)| ≤ g(ω), ω ∈ A, t ∈ (a, b)
mit g in L1 (µ) gilt.
Zeigen Sie, dass für t ∈ (a, b) die Funktion K(t) differenzierbar mit
Z
0
K (t) = f 0 (ω, t) dµ
ist, d.h.
d
dt
Z
Z
f (ω, t) dµ =
d
f (ω, t) dµ .
dt
Bitte wenden!
3. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum und u ∈ L0 (µ).
a) Nehmen Sie µ(Ω) < ∞ an und zeigen Sie, dass
lim kukp = kuk∞
p→∞
gilt.
b) Sei jetzt Ω nur µ-σ endlich. Wie sollte man die vorherige Gleigchung modifizieren?
• Vorbesprechung: Diese Serie wird am 17.04.2015 in den Übungen vorbesprochen.
• Abgabetermin: Bis 22.04.2015, 12 Uhr, im Vorraum zum HG F 28.
• Testatbedingung: Keine; der Inhalt der Übungen gehört aber auch zum Prüfungsstoff.
• Präsenz: Mo, Mi und Do ist die Präsenz im HG G 19.1 oder HG G 19.2 zwischen 12
und 13 Uhr. Dort werden fachliche Fragen zur Vorlesung und den Übungen beantwortet.
Übungsgruppen
Assistent
Alexandru-Dumitru Paunoiu
Igor Uljarevic
José Luis Hablützel Aceijas
Louis Correia Soares
Ort
HG D 5.1 (EN)
HG E 33.5 (EN)
HG D 3.3 (DE)
HG D 3.1 (DE)
Zeit
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Fr. 10-12 Uhr
Informationen zur Vorlesung und den Übungen sind unter:
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/math/massuint
Bei Fragen zu den Übungen oder dem Übungsbetrieb wendet euch an:
Luca Galimberti, [email protected]