x - 経営工学専攻 - 東京工業大学

東京工業大学大学院 経営工学専攻
2010/6/11
年金数理第8回
財政方式2
講師 : 渡部善平((株)IICパートナーズ)
2010/6/11
年金数理第8回
1
Excelシートが開けない人へ
経営工学専攻掲示板の2009年アップ分を見てくだ
さい。
それでも駄目なら講師渡部までメールすること!
z.watanabe@iicp.co.jp
2010/6/11
年金数理第8回
2
第8回の目的
• Trowbridgeモデルと諸概念の算式を理解する
• 引き続き典型的な財政方式の計算を理解する
– 単位積立方式
– 加入年齢方式
2010/6/11
年金数理第8回
3
心がけてほしいこと
• 算式を用いた定義の意味を頭に叩き込む
• その定義を覚える
• 算式の展開を我慢強く行うことをいとわない
• 数種類の算式表現を自由自在にできるようにする
• 同時にそれらが何を意味するかを考える
• ひとに説明するつもりで反芻する
• 実際の数値にあてはめて計算する
(Excel sheetの有効活用)
2010/6/11
年金数理第8回
4
財政方式とは
年金制度から支払われる給付金(年金や一時金)の財源を確保するための
準備計画
=具体的にいつ、どれだけ積み立てていくか
据置
期間
積立期間
入 社 (加 入 )
完全積立
方式
加入時積立方式
支給期間
脱 退 (退 職 )
単位積立方式
平準積立方式
支給開始
退職時年金
支給終了
賦課方式
現価積増方式
積立方式
事前積立方式
2010/6/11
年金数理第8回
5
Trowbridge-モデル
2010/6/11
年金数理第8回
6
Trowbridgeモデルの定義
1952年Charles L.Trowbridge氏により紹介。以下の前提に基づく年
金制度で、この制度の上で各種財政方式の考察がなされた
① 給付種類:退職年金
② 受給資格:定年年齢に到達して年金制度を脱退した時
③ 年金年額:毎年1(年1回期始払い)
④ 給付期間:即時支給開始終身(保証期間無)
⑤ 掛金払込時期:年1回期始払い(毎年度の新規加入者の加入後、毎年度の給
付支払前に払込む)
⑥ 加入者被保険者集団:定常人口
⑦ 新規加入員の見込み:定常人口を保つように最低年齢における人数と同数
が毎年加入する
2010/6/11
年金数理第8回
7
Trowbridgeモデルにおける給付現価

年金受給権者の給付現価

S   l・
x ax
p
x  xr
xr :
:
2010/6/11
定年年齢
最終年齢(考えられる最高齢)
年金数理第8回
8
Trowbridgeモデルにおける給付現価
加入員の給付現価 (現在加入員 全期間分)
S 
a
据え置き年金現価
S 
xr 1 (T )

x
x  xe

xr 1 T 

x
x  xe
a
l
l xr axr v
lx
l
l x1  ( x2
xr  x
 l x1  (( Dx2  ax2 ) / Dx1 )  l x1  ( N x2 / Dx1 )
(T )
axr
 Dx・
r
l ・
 Dx
l x1
 v x2  x1  ax2 )  l x1  ( Dx2 / Dx1  ax2 )
 xr 1 T  N xr xr 1 (T )
   l x ・
  l xr axr v xr  x
D x x  xe
 x  xe
xe :
新規加入年齢
重要
据え置き年金現価
2010/6/11
年金数理第8回
9
Trowbridgeモデルにおける給付現価
加入員の給付現価 (現在加入員 過去期間分)
axr
 x  xe   Dx・
r
・
S 
l ・
 xr  xe   Dx
xr 1 x  x
(T )
e
 
l xr axr v xr  x
x  xe x  x
r
e
a
PS
xr 1 T 

x
x  xe

S a PS

 xr 1 T   x  xe  N xr
   l x ・
・
 x  xe
 xr  xe  Dx
(全期間分 再掲)
S 
a
2010/6/11
axr
 Dx・
r
l ・
 Dx
xr 1 T 

x
x  xe
 xr 1 T  N xr xr 1 (T )
   l x ・
  l xr axr v xr  x
Dx x  xe
 x  xe
年金数理第8回
10
Trowbridgeモデルにおける給付現価
給付現価 4
加入員の給付現価 (現在加入員 将来期間分)
S
a
FS
axr
 xr  x   Dx・
r
・

l ・
 xr  xe   Dx
xr 1 x  x
(T )
  r
l xr axr v xr  x
x  xe x  x
r
e
xr 1 T 

x
x  xe
S 
a
FS
 xr 1 T   xr  x  N xr
   l x ・
・
 x  xe
 xr  xe  Dx
(全期間分 再掲)
S 
a
2010/6/11
axr
 Dx・
r
l ・
 Dx
xr 1 T 

x
x  xe
 xr 1 T  N xr xr 1 (T )
   l x ・
  l xr axr v xr  x
Dx x  xe
 x  xe
年金数理第8回
11
Trowbridgeモデルにおける給付現価
給付現価 5
加入員の給付現価 (将来加入員)
 
Sf
据え置き年金現価
定常人口を仮定しているため、次年度以降期始に
毎年 lx e
T 
名の加入が見込まれる
毎年度の新規加入員の加入時点における給付現価 :
lx e
T 
 Nxr 
・

 Dx e 
翌期始から永久に加入してくる新規加入員の給付現価 :
上記×
上記の期末払い無限年数年金現価
N xr
v
T  
S   ・l xe ・
 Dx
d 
 e
f
2010/6/11




年金数理第8回
= 上記×
v・a
v
d
詳しくは次ページ
12
Trowbridgeモデルにおける給付現価
S  (v  v    )l xe
f
2
前頁の説明
ちなみに
 (v / d )l xe
(T )
 (v / d )l xe
(T )
(T )

l xr
l xe
(T )
axr v xr  xe
Dx r N x r
D x e Dx r

( N xr / Dxe )  (v / d )l xe
(T )
( D xr axr / Dxe )

1
v  v    v(1  v  v   )  v(
)  v/d
1 v
v  v 2    v(1  v  v 2   )  va
2
もしくはごく単純に
2010/6/11
2
S  (v  v    )l xe
f
2
(T )

l xr
l xe
(T )
axr v xr  xe
 (v xr  xe 1  v xr  xe  2    )l xr axr
年金数理第8回
13
Trowbridgeモデルにおける給付現価
上記の①~③を合計したものが制度全体の給付現価 S である
S S S S
p
2010/6/11
a
年金数理第8回
f
14
給付現価の間の関係式
制度全体の給付現価
S  B・a  B / d
現在加入員および将来加入員の合計であることに注意
(現在加入員のみでは、「永久」にはならない)
2010/6/11
年金数理第8回
15
給付現価の間の関係式
給付現価のブレイクダウン 1
S 
a
xr 1

x
x  xe r
l axr v
S  (v
S S
a
f
xr  xe 1
=
f
xr  x
v
 (v  v    v
x r  xe  2
2
xr  xe
   )l xr axr
v


(v  v  v    )・l xr・a x   ・l xr・ax
r
r
d 
2
3
現在加入員および将来加入員の給付現価の和は、毎年
新たに生まれる年金受給者の給付現価の総現価である
2010/6/11
)l xr axr
年金数理第8回
年金受給者
が順番待ちしている
イメージ
16
給付現価及び人数現価の間の関係式 5
給付現価のブレイクダウン 3
S S
a
であり、
f
v
  ・l xr・ax
r
d 
S S S S
p
a
f
S  B・a  B / d
なので、結局
2010/6/11
v
S  S  ( S  S )  B / d   ・l xr・ax
r
d 
p
a
f
年金数理第8回
17
単位積立方式
2010/6/11
年金数理第8回
18
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
考え方:毎年年金額
1
xr  xe
の現価を保険料として払っていく
1
xr  xe
1
xr  xe
1
xr  xe
1
xr  xe
xe
xr  1
xe  1 xe  2
2010/6/11
年金数理第8回
1
xr  xe
xr
19
単位積立方式(Unit Credit Method, Accrued Cost Method) 1
考え方:毎年年金額
1
xr  xe
の現価を保険料として払っていく
X歳の加入者1人当たりに毎年要する掛金
制度全体の掛金
U
U
U
 1   Dxr  axr 
px  
 

x

x
D
 r

e 
x
 1  xr 1 (T )  Dxr  axr 
  l x  

C
l  Px  
 xr  xe  x  xe
 Dx 
(T )
 1  xr 1 (T )  l xr  axr  xr  x  l xr  axr
  l x   (T ) v
 



x

x
 xr  xe
 xr  xe  e
 lx


xr 1 (T ) U

x
x  xe
 xr 1 x  x
  vr
 x  xe

C / d  (現在加入員分現価 )  (将来加入員分現価 )
2010/6/11
年金数理第8回
20
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
単位積み立て方式の年金資産の積立水準を求めてみよう
2010/6/11
年金数理第8回
21
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
U
C / d  (現在加入員分収入現価 )  (将来加入員分収入現価 )
現在加入員分収入現価
xr 1 xr 1 U


x  xe X  x
PX l X
(T )
v X x

xr 1 xr 1


x  xe X  x
Dx r
xr 1 xr 1
1 Dx r
1
(T ) X  x
(T ) X  x


axr l X v
  
a
l
v
xr X
(T ) X
x

x
X

x
e
xr  xe DX
xr  xe l X v

xr 1 xr 1


x  xe X  x
xr 1 x  x
xr 1 x  x
1
x
x
r
Dxr axr v  
Dxr axr v   r
l xr axr v xr  x
x  xe x  x
x  xe x  x
xr  xe
r
e
r
e
これは、現在加入員の給付現価のうち将来期間分
に相当するものである
すなわち現在加入員分収入現価
2010/6/11
 S FS
年金数理第8回
S FS
a
10ページ参照
a
22
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
ここで現在加入員の責任準備金は
現在加入員の給付現価 - 現在加入員の収入現価
すなわち
S a  現在加入員の収入現価 S PS  S FS  S FS  S PS
a
a
a
a
つまり単位積立方式における現在加入員の責任準備金は、過去分の給付現
価に等しい
2010/6/11
年金数理第8回
23
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
なお、過去分の給付現価はつぎのように展開できる
S PS 
a
2010/6/11
xr 1

x  xe
x  xe
x 1
x
1
l xr axr v xr  x  r 
l xr axr v xr  x
x  xe X  xe 1 x  x
xr  xe
r
e

xr 1
x


x  xe X  xe 1
1
l xr axr v xr ( X 1) v X 1 x
xr  xe

xr 1
x


x  xe X  xe 1
1
l xr axr v xr ( X 1) (1  i ) x ( X 1)
xr  xe

xr 1
x


x  xe X  xe 1
x  ( X 1)
1 l xr axr v r
(T )
x  ( X 1)
l
(
1

i
)
X 1
(T )
xr  xe
l X 1

xr 1
x
U


x  xe X  xe 1
PX 1l X 1 (1  i ) x ( X 1)
(T )
年金数理第8回
24
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
ここで
x
U

X  xe 1
(T )
X 1 X 1
P l
(1  i) x ( X 1)  Ax
これは現在x歳の加入員が加入から積み立てた掛金の今までの元利
合計であることがわかる
S PS 
xr 1

x  xe
Ax
であるから、過去分の給付現価は、現在加入
員の掛金の元利合計の総合計になる
Ax  Ax 1 (1  i ) P
U
(T )
x 1 x 1
l
(1  i)
の漸化式を利用してexcel sheetにて計算
2010/6/11
年金数理第8回
25
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
U
C / d  (現在加入員分現価 )  (将来加入員分現価 )
将来加入員分現価
 t xr 1 U


t 1
X  xe
v(
PX l X
(T )
v
X  xe
 t xr 1


t 1
X  xe
) v (
1 Dxr axr (T ) X  xe
lX v
)
xr  xe DX
1
 v
l xr axr v xr  xe ( xr  xe )
xr  xe
 t

t 1
 t

t 1
 v (l xr axr v xr  xe ) f S
これは、将来加入員の給付現価に相当するものである
したがって
2010/6/11
U
ある意味当たり前
C / d  S FS  S f
a
年金数理第8回
26
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
F  B / d U C / d  S p  S a  S f U C / d
 S  S PS  S FS  S  ( S  S FS )
p
 S  S PS
p
a
a
f
f
a
a
すなわち、単位積立方式の年金資産(結局責任準備金)は、年金受給者の給
付現価および現在加入員の収入現価のうち過去勤務分に相当するものを足
したものに等しい
2010/6/11
年金数理第8回
27
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method) 1
結局、単位積立方式のもとでは
給付現価
年金受給者
現在加入員
S
p
S
a
マイナス
収入現価
=
マイナス
0
=
S FS
マイナス
a
=
これは現在加入員
の掛金収入現価でもある
将来加入員
合計
S
S
f
マイナス
マイナス
S
S PS
p
a
これは現在加入員
の掛金元利合計でもある
f
=
0
C/d
=
S  S PS
S
U
責任準備金
p
a
これは年金資産でもある
2010/6/11
年金数理第8回
28
単位積立方式(Unit Credit Method,Accrued Cost Method)
現在加入員(ひとりあたり)の給付現価・掛金収入現価・掛金元利合計の関係
将来加入期間分
掛金収入
現価
単位積立方式
では加入員毎・期間毎に
収支相等が成立
給付現価
過去加入期間分
2010/6/11
掛金
元利合計
年金数理第8回
この加入員ひとりに
対応する年金資産
29
単位積立方式を考える意義
• 実務的には主流ではないが、
– 勤続に伴って発生した給付の現価を積み立てると
いう、自然な考え方
⇔すなわち会計における費用そのものを積み立てる
2010/6/11
年金数理第8回
30
加入年齢方式
2010/6/11
年金数理第8回
31
Trowbridgeモデルにおける人数現価
人数現価 1
G
掛金を毎年一人あたり1ずつ払い込んでいく場合の掛金収入現価
(すなわち、人数現価にひとりあたりの掛金を乗ずれば掛金収入現価がでる)
: 単位掛金現価ともいうべきもの
一人当たりの掛金が一定の制度の事前積立方式の場合に使い勝手がある
(つまり事前積立制度であっても単位積立方式ではこの概念は使えない)
2010/6/11
年金数理第8回
32
Trowbridgeモデルにおける人数現価
人数現価 2
加入員の人数現価
 
Ga
X歳開始有期年金
現価率
現在 x 歳の加入員一人が将来掛
金を1ずつ払う場合の現価
(T )
(T )
(T )
l xr 1
l x 1
lx2
2
1  (T ) v  (T ) v     (T ) v xr 1 x 
lx
lx
lx
加入員全体では
2010/6/11
xr 1
yx

y
yx
(T )
x
lv
l
 xr 1
  Dy
xr 1
T   y  x
G a   l x ・
Dx
x  xe



年金数理第8回
xr 1

l v   Dy 
yx



D
l v
 x 


xr 1
y

y
yx
(T ) x
x

 x 1
x 1

 r   x r
    v ・ D y 
yx

 x  xe 


33
Trowbridgeモデルにおける給付現価及び人数現価等 9
人数現価 3
将来加入員の人数現価
G 
f
新規加入年齢 xe 歳時点の人数現価を翌期始以降、永久に見込んだもの
 xr 1 
  Dx 
xr 1
v
v






x

x

T

e
G f   ・l xe ・ e    ・v  x・
Dx

D xe
d
d 

x  xe






2010/6/11
1年あたり年金数理第8回
34
Trowbridgeモデルにおける給付現価及び人数現価等 10
人数現価 4
上記の①②を合計したものが制度全体の人数現価 G
G  G G
a
2010/6/11
年金数理第8回
f
35
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
制度加入から定年まで平準的(一人当たりの金額が一定)に掛金を積立て、
年金開始時にちょうど必要原資が積み立てられるように掛金額を決定
掛金額の求め方
E
P(
xr 1 (T )

x
x xe
l
(1  i ) xr  x )  l x・
axr
r
これを、年齢0歳時における現価で考えると
E
xr 1
xr


P(  l (T ) x (1  i) xr  x )v xr  l (T ) x・
a
v
 Dxr axr
r
xr
x xe
左辺は
E
xr 1
xr 1
xr 1
x xe
x xe
x xe
P(  l (T ) x v x  xr )v xr  E P(  l (T ) x v x ) E P(  Dx )
2010/6/11
年金数理第8回
36
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
すなわち
E
xr 1
P  Dx  Dx・
axr
r
E
より
x  xe
また
P
Dx・
axr
r
xr 1
D
x x
x
e
xr 1




D


x





 v  T   Dxr  a xr   v  T   x  xe
f
f
S / G     l xe 
 /    l xe  



d
D
d
D
 
xe
xe



  



 Dxr  axr /
より
E
xr 1

x  xe
Dx  E P
P  S f /Gf
が成立 すなわち、ひとりあたりの保険料額 E
E
P
PG f  S f
の将来加入員の収入現価(左辺)が
将来加入員の給付現価(右辺)にひとしくなるように、ひとりあたりの保険料 E
P
が定められる
2010/6/11
年金数理第8回
37
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
現在加入員にかかる責任準備金は給付現価から収入現価を引いてつ
ぎのようになる :
S a EP  G a
 E P xr1 D
X
xr  xr 1 T  
xr 1 T   Dx  a
X  xe
a
r
   l x  
S   l x  
x  xe
Dx
 D x  x  xe



xr 1 E

x  xe

xr 1 E

x  xe
P(
xr 1
(T )

X
X  xe
( P(
l
v X x )
x 1
(T )

X
X  xe
l





(1  i )
x X
) P(
E
xr 1
(T )

X
X x
l
v X  x ))
第1項のΣの中:年齢群団x歳の現在加入員が入社から現在まで積み立ててき
た掛金の元利合計
第2項のΣの中:年齢群団x歳の現在加入員が現在から定年時まで積み立てる
掛金の収入現価
つまり現在加入員の給付現価は、掛金の元利合計と収入現価の和
2010/6/11
年金数理第8回
38
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
現在加入員にかかる責任準備金は給付現価から収入現価を引いてつ
ぎのようになる :
S a EP  G a
E
P G  P 
a
E

xr 1 T 

x
x  xe
xr 1

X x
l ・
xr 1 xr 1 E


x  xe X  x
P  lX
DX
Dx
(T )
 P
E
xr 1 T 

x
x  xe
xr 1

X
X x
(T ) x
x
l ・
l
D
v
v X x
この最初のシグマで囲われた項は、年齢群団x歳の現在加入員が現在から定
年時まで積み立てる掛金の収入現価をあらわす。よって収入現価合計はそれら
年齢xに関する総和
2010/6/11
年金数理第8回
39
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
現在加入員にかかる責任準備金は給付現価から収入現価を引いてつ
ぎのようになる :
S a EP  G a
Sa
現在加入員が入社から現在まで積み立ててきた掛金の元利合計および現在か
ら定年時まで積み立てる掛金の収入現価をあらわす
E
P  Ga
現在加入員が現在から定年時まで積み立てる掛金の収入現価をあらわす
S a EP  G a
上記より、現在加入員が入社から現在まで積み立ててきた掛金の元利合計
になる
2010/6/11
年金数理第8回
40
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
一方、すでに年金受給者なっているものに支払う原資として必要な年金資産は、年
金受給者分の給付現価であり

P


l  ax  S

x
x  xr
したがって、加入員および年金受給者全体の責任準備金は、結局
加入員の掛金元利計および年金受給者に必要な年金資産の合計(=すなわ
ち年金資産額)
に等しくなる。
一方将来加入員に関しては、給付現価と収入現価が一致しているので責任準
備金はゼロ、また年金資産もゼロなので結局、将来加入員、現在加入員、年
金受給者全体で年金資産と責任準備金が等しいことがわかる
2010/6/11
年金数理第8回
41
加入年齢方式(Entry Age Normal Cost Method)
極限方程式より検証すると
B/d  S S S
p
a
f
B / d  E C / d  F  S f  EPG a  F
これより
F  S  S  PG
p
a
E
a
これは加入年齢方式において成立している年金資産=責任準備金の関係式
2010/6/11
年金数理第8回
42
単位積立方式と加入年齢方式比較
U
C
E
 1  xr 1 (T )  Dxr  axr
  l x  
l  Px  
 xr  xe  x  xe
 Dx
xr 1 (T ) U

x
x  xe
C P
E
xr 1 (T )

x
x  xe
l

Dx・
axr
r
xr 1

x  xe
Dx



xr 1 (T )

x
x  xe
l
住宅ローンの返済で言えば、元利均等返済(=加入年齢方式)と、負債額を返
済時期別に均等分割してその現価を返していく場合の比較
(年金制度の場合は、毎年の人数が減少していく要素が加わる)
2010/6/11
年金数理第8回
43
単位積立方式と加入年齢方式比較
(T )

l
 axr
x
U
r
C 
 xr  xe

E
C  EP
xr 1 (T )

x
x  xe
 l xr axr
l
Dx・
axr
r
xr 1

x  xe
Dx
xr 1 (T )

x
x  xe
l

l xr v ・axr
xr
xr 1

x  xe
Dx
xr 1 (T )

x
x  xe
l
 l xr axr
xr 1
xr  x

x
x  xe
xr 1

x
x  xe
Dv
D
Dxr 1v  Dxr 2 v 2     Dxr  xe v xr  xe
今
なぜなら
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
xr  xe
2
 xr 1 x  x
v

v




v
(
T
)
  v r l
 axr
xr
 x  xe
1  1    1

Dxr 1  Dxr 2     Dxr  xe
v  v 2    v xr  xe
1  1    1
Dx
>
Dxr 1v  Dxr  2 v 2     Dxr  xe v xr  xe
Dxr 1  Dxr  2     Dxr  xe
はxの減少関数であるから
年金数理第8回
44
単位積立方式と加入年齢方式比較
したがって
U
C C
E
したがって逆に
単位積立方式の年金資産水準は加入年齢方式の年金
資産水準より低い
2010/6/11
年金数理第8回
45
単位積立方式と
加入年齢方式比較
項目
掛金
年金資産
(責任準備金)
単位積立方式
U
C  l xr
加入年齢方式
(T )
 axr
xr 1

x  xe
v
xr  x
E
xr  xe
F  S  S PS
p
a
C  l xr axr
xr 1

x
x  xe
xr 1

x  xe
D v xr  x
F  S p  S a EPG a
(1年あたり)給付額
109,909
109,909
年金受給者給付現価
994,084
994,084
現在加入員給付現価
1,974,139
1,974,139
65,805
62,056
2,045,305
2,236,472
掛金額
年金資産額
2010/6/11
年金数理第8回
Dx
46
加入年齢方式と単位積立方式
現在加入員(ひとりあたり)の給付現価・掛金収入現価・掛金元利合計の関係
将来加入期間分
掛金収入
現価
掛金収入
現価
給付現価
過去加入期間分
掛金
元利合計
(年金資産)
単位積立方式
2010/6/11
年金数理第8回
掛金
元利合計
(年金資産)
加入年齢方式
47
単位積立方式と加入年齢方式比較
保険料額比較(単位積立vs加入年齢)
3,500
3,000
保険料額
2,500
2,000
1,500
単位保険料方式保険料額
1,000
加入年齢方式保険料額
500
0
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
年齢
2010/6/11
年金数理第8回
48
単位積立方式と加入年齢方式比較
保険料元利合計比較
100,000
90,000
80,000
70,000
元利合計額
60,000
50,000
40,000
30,000
単位積立方式
加入年齢方式
20,000
10,000
0
30
2010/6/11
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 年金数理第8回
43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
年齢
49
質問(講義の内容およびアクチュアリーの件でもOK) は
つぎのメールアドレスおよび電話へ
株式会社IICパートナーズ
渡部 善平
電話 : 03-5501-3795(直通)
2010/6/4
年金数理第8回
50