物性物理学序論

比熱の量子論
振動数に分布がある場合
これまでの議論は、振動数が一定だった。
実際には振動数はいろいろ。
D(ω)
フォノン(格子振動)のモードの状態密度
D(ω)dω: 振動数がω~ω+dωの間にあるモードの数。
すると、エネルギーは、いろいろな振動数の場合の和となり、

U   D( ) ( )d
0
ここでε(ω)は、振動数ωのフォノンのエネルギー.

 (ω) 
exp( )  1
1
フォノンの状態密度D(ω)はどんな関数か?
前回議論した、1次元格子振動で、
2
K
ka
 sin
M
2
「第1ブリルアンゾーン」k:-π/a からπ/aまで。ω
周期的境界条件より、1次元でk=2π/L (L=Na)
ごとに1個のモード。
3次元だと、(2π)3/Vに1個。 (V=L3)
-π/a
半径kからk+dkの間の球殻には、
V/(2π)3 x 4πk2 dk
波数kと振動数ωの関係は、ω=vk を使うと、
状態密度は、
3V  2
D(ω) 
2 2 v 3
k
π/a
0
2
3V 
D(ω) 
2
3
2 v
2
状態密度を使う。
問題1:ωの最大値をωDとする。
D

0
D(ω)d  3N
の規格化から、 ωDを求めよ。

でvを消去して、 D
D (ω)
問題2
D
U   D() (ω)dω
0
を使って書け。

 (ω) 
exp( )  1
より比熱Cはどのようになるか。
高温と低温での関数形を求めよ。
3
問題の回答
問題1:D

0
問題2:
V D3
D(ω)d  2 3  3N
2 v
2
D(ω)  9 N 3
D
 (ω) 
3V  2
D(ω) 
2 2 v 3

exp( )  1
D
U   D() (ω)dω
0
T 
C  9 Nk  
 D 
3
D /T

0
ex x4
dx
x
2
(e  1)
 D
D 
k
1  D 
 
3 T 
3
T-> ∞で積分の中を展開。
が出てきて、
C=3Nk. 古典的な値になる。
T-> 0で積分部分は定数。T3に比例。
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