電気回路第1 第10 回 - 橋本・ミョー研究室【Top】

電気回路第1スライド10-1
電気回路第1 第10回
ーインピーダンスー
目次(クリックすると移動します。)
2先週の復習
3RLC直列回路
4インピーダンス
5インピーダンスと位相
6インピーダンスの直列接続
7逆数のアドミッタンス
8並列回路のYとZ
9今日のまとめ
電気回路第1 第10回
RLC直列回路
i
e
R
E
L
ーインピーダンスー
C
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
{
L
∫
1
C
di
dt
[
]}
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
先週の復習
電気回路第1スライド10-2-1
1.電流、電圧の複素表示
まず、
というのを定義しました。
i = Im sin(ωt +θ)
以前の表現で、
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
正弦波(時間の関数)を
①電流や電圧の時間の関数。
②を複素表示すると、εの虚数乗の式。
③実効値×位相差分の指数関数。
④微分積分はjωを掛けるか、割るか。
!
前回の演習問題の解答
です。
電気回路第1 第10回
RLC直列回路
i
e
R
E
L
ーインピーダンスー
C
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
{
L
∫
1
C
di
dt
[
]}
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
先週の復習
電気回路第1スライド10-2-2
1.電流、電圧の複素表示 というのを定義しました。
i = Im sin(ωt +θ)
これを、
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
正弦波(時間の関数)を
①電流や電圧の時間の関数。
②を複素表示すると、εの虚数乗の式。
③実効値×位相差分の指数関数。
④微分積分はjωを掛けるか、割るか。
I = Im εj(ωt +θ)
E = Em εj(ωt +θ+Φ)
サインの部分をεの虚数乗とします。
!
前回の演習問題の解答
です。
電気回路第1 第10回
RLC直列回路
i
e
R
E
L
ーインピーダンスー
C
1.電流、電圧の複素表示
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
正弦波(時間の関数)を
①電流や電圧の時間の関数。
②を複素表示すると、εの虚数乗の式。
③実効値×位相差分の指数関数。
④微分積分はjωを掛けるか、割るか。
I=
{
L
∫
1
C
di
dt
]}
[
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
電気回路第1スライド10-2-3
先週の復習
i = Im sin(ωt +θ)
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
Im εj(ωtjθ+θ)
│I│ε
さらに、
+θ+Φ)
E = │E│
Em εj(ωt
εj(θ+φ)
交流100V
(実効値)
サインの部分をεの虚数乗とします。
実効値×位相差分の指数と表現します。
!
前回の演習問題の解答
です。
電気回路第1 第10回
RLC直列回路
i
e
R
E
L
ーインピーダンスー
C
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
{
L
∫
1
C
di
dt
]}
[
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
電気回路第1スライド10-2-4
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
Im εj(ωtjθ+θ)
│I│ε
i = Im sin(ωt +θ)
I=
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
+θ+Φ)
E = │E│
Em εj(ωt
εj(θ+φ)
交流100V
(実効値)
正弦波(時間の関数)を
サインの部分をεの虚数乗とします。
実効値×位相差分の指数と表現します。
そうすると、
2.電流、電圧の微積分 ⇒
は単にjωをかける、jωで割るだけでよい。
①電流や電圧の時間の関数。
②を複素表示すると、εの虚数乗の式。
③実効値×位相差分の指数関数。
④微分積分はjωを掛けるか、割るか。
!
前回の演習問題の解答
です。
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
正弦波(時間の関数)を
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
実効値×位相差分の指数
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
インピーダンス
交流100V
(実効値)
jωL
1
jωC
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
1
jωC
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
[
R2 + ωL -
1
ωC
RLC直列回路
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-1
では、微分や積分の出てくる例として、
RLC直列回路の電圧を考えましょう。
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
?
1/j =-j となることに
ついて
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
正弦波(時間の関数)を
インピーダンス
Z
E = ZI
交流100V
(実効値)
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
jωL
実効値×位相差分の指数
と表すのがインピーダンスです。
│Z│=
[
R2 + ωL -
jωL+
虚軸
1
jωC
1
ωC
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-2
RLC直列回路
この RLC直列回路の電圧は、
抵抗の電圧、
Ri
i
e
Zの極座標表示は、
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
1
jωC
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
R
L
C
L
∫
1
C
di
dt
idt
インダクタンスの電圧、
キャパシタンスの電圧を足しました。
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
?
1/j =-j となることに
ついて
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
正弦波(時間の関数)を
インピーダンス
Z
E = ZI
交流100V
(実効値)
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
jωL
実効値×位相差分の指数
│Z│=
e
R
L
C
jωL+
虚軸
1
jωC
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-3
RLC直列回路
i
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
1
jωC
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
RLC直列回路の電圧は、 複素表示すると、
抵抗の電圧、
Ri
RI (そのまま)
これらを、
L
∫
1
C
di
dt
idt
インダクタンスの電圧、
jωLI (微分のためjωを掛ける。)
1
I (積分のためjωで割る。)
キャパシタンスの電圧を足しました。
jωC
と簡単に表現されます。
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
?
1/j =-j となることに
ついて
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
インピーダンス
交流100V
(実効値)
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
正弦波(時間の関数)を
実効値×位相差分の指数
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
jωL
1
jωC
RLC直列回路
i
R
e
E
L
C
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
1
jωC
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-4
複素表示すると、
RLC直列回路の電圧は、 3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
RI
E抵抗の電圧、
= RI + jωLI +
I
jωC
di もちろん、直列回路は電圧を
と複素数のものをそのまま足して
L
jωLI
インダクタンスの電圧、
しまいましょう。
dt 足すということですから、
11
キャパシタンスの電圧を足しました。
jωC idtI
C
∫
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
?
1/j =-j となることに
ついて
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
インピーダンス
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
正弦波(時間の関数)を
実効値×位相差分の指数
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
交流100V
(実効値)
jωL
1
jωC
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
R
e
E
L
C
jωL+
虚軸
1
jωC
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-5
RLC直列回路
i
Zの極座標表示は、
RLC直列回路の電圧は、 3つの素子の電圧の和で、
1
RI
E = RI + jωLI +
I
jωC
1
もちろん、直列回路は電圧を
と複素数のものをそのまま足して
=
RI
+
jωLI
I となる。
-j
jωLI
ωC
足すということですから、
しまいましょう。1
1
ここで、
=-j
ですから、
1
=
RI
+
j
I
j ωLー ωC
位相の違うものをちゃんとjを使う
jωC I
など表現しているのでOKです。
さらに、j で整理すると、
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
[
]
?
1/j =-j となることに
ついて
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
インピーダンス
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
正弦波(時間の関数)を
実効値×位相差分の指数
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
jωL
1
jωC
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
Z
E = ZI
交流100V
(実効値)
と表すのがインピーダンスです。
R
e
E
L
C
jωL+
虚軸
1
jωC
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-6
RLC直列回路
i
Zの極座標表示は、
RLC直列回路の電圧は、 3つの素子の電圧の和で、
1 1
RI
E = RI
jωLI
R++
j ωL
ー +ωC jωC I I
1
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
=
RI
+
jωLI
I となる。
-j
jωLI
ωC
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
1
1
=
RI
+
j
I
ωLー
E=
ZI
とかけます。
ωC
jωC I
ですが、今度はIで整理すると、
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
{
]}
[
[
]
?
1/j =-j となることに
ついて
先週の復習
1.電流、電圧の複素表示
i = Im sin(ωt +θ)
e = Em sin(ωt +θ+Φ)
インピーダンス
I = │I│εjθ
E = │E│ εj(θ+φ)
正弦波(時間の関数)を
jωL
実効値×位相差分の指数
1
jωC
2.電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
Z
E = ZI
交流100V
(実効値)
と表すのがインピーダンスです。
R
e
E
L
C
jωL+
虚軸
1
jωC
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
実軸
電気回路第1スライド10-3-7
RLC直列回路
i
Zの極座標表示は、
RLC直列回路の電圧は、 3つの素子の電圧の和で、
1
RI
E = R + j ωL ー
I
ωC
{
]}
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
jωLI
1
jωC
[
I
E= ZI とかけます。
Z を複素インピーダンス
呼びます。
単に
とは普通呼ばず
①微分積分の例をRLC回路で考える。
②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。
③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。
④複素数のまま足してしまう。
⑤jで整理する。
⑥電圧と電流の比例係数がZ。
⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。
?
1/j =-j となることに
ついて
RLC直列回路
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
i
e
{
R
E
L
L
C
∫
1
C
di
dt
[
]}
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
Z
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
電気回路第1スライド10-4-1
インピーダンス
少しまとめて、インピーダンス
について述べましょう。
①インピーダンスZの概念を導入。
②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。
③絶対値では│E│=│Z││I│。
④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。
? ?
│Z│の計算について
インピーダンスZとその
絶対値(やっぱり)、
インピーダンス│Z│の
違いと使い分けについて
RLC直列回路
i
e
R
E
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
{
L
L
C
∫
1
C
di
dt
[
]}
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
インピーダンス
このような回路を、 一個
Z
のZ素子のように扱って、
E = ZI と表すのがインピーダンスです。
①インピーダンスZの概念を導入。
②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。
③絶対値では│E│=│Z││I│。
④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。
Z
電気回路第1スライド10-4-2
? ?
│Z│の計算について
インピーダンスZとその
絶対値(やっぱり)、
インピーダンス│Z│の
違いと使い分けについて
RLC直列回路
i
e
R
E
{
L
L
C
インピーダンスと位相
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
∫
1
C
di
dt
[
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
]}
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
インピーダンス
回路全部(RLC)を 一個
Z
のZ素子のように扱って、
E = ZI と表す。
│E│ =│Z││I│
│Z│=
Z
R2
+
電気回路第1スライド10-4-3
絶対値を取って、
の│Z│はもちろん、
[ωL ー
1
ωC
①インピーダンスZの概念を導入。
②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。
③絶対値では│E│=│Z││I│。
④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。
2
]
です。(RLC直列回路の場合)
? ?
│Z│の計算について
インピーダンスZとその
絶対値(やっぱり)、
インピーダンス│Z│の
違いと使い分けについて
RLC直列回路
i
e
R
E
{
L
L
C
インピーダンスと位相
RLC直列回路の電圧は、3つの素子の電圧の和で、
1
Ri
E = R + j ωL ー
I
ωC
∫
1
C
di
dt
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
]}
[
と電圧と電流の間の比例(?)関係がでました。
このカッコの中(比例係数)をZ(複素数)として、
E= ZI とかけます。
idt Z を単にインピーダンスと呼びます。
Z
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
電気回路第1スライド10-4-4
インピーダンス
回路全部(RLC)を 一個 Zの極座標表示は、
Z
のZ素子のように扱って、 実部と虚部は、
このようになりますが、
1
jωL+
jωC
E = ZI と表す。
虚
Z
軸
│E│ =│Z││I│
│Z│=
R2 +
の│Z│はもちろん、
[ωL ー
1
ωC
①インピーダンスZの概念を導入。
②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。
③絶対値では│E│=│Z││I│。
④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。
R
2
]
です。
0
実軸
? ?
│Z│の計算について
インピーダンスZとその
絶対値(やっぱり)、
インピーダンス│Z│の
違いと使い分けについて
インピーダンスの直列接続
インピーダンス
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
Z2
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
直列接続
E
Z1
1
jωC
実軸
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-5-1
インピーダンスと位相
今度は位相の変化に
ついて考えましょう。
①虚部の符号をまとめる。
②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。
③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。
④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。
⑤リアクタンスが位相の変化を示す。
? ?
位相差Φ=tan-1(X/R)の
計算について
複素数の扱いからΦを
みよう。
インピーダンスの直列接続
インピーダンス
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
Z2
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
直列接続
E
Z1
1
jωC
実軸
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-5-2
インピーダンスと位相
インピーダンスが j だと、
虚
軸
0
このような場合ですが、
j は微分する、sin⇒cosなので、
実軸
E=ZI は90°位相進む。
①虚部の符号をまとめる。
②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。
③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。
④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。
⑤リアクタンスが位相の変化を示す。
? ?
位相差Φ=tan-1(X/R)の
計算について
複素数の扱いからΦを
みよう。
インピーダンスの直列接続
インピーダンス
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
Z2
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
直列接続
E
Z1
1
jωC
実軸
軸
Z
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-5-3
インピーダンスと位相
1
インピーダンスが
j だと、
jωL+
jωC
虚
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
のように、インピーダ
ですが、
ンスが複素数のとき
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
R
0
実軸
①虚部の符号をまとめる。
②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。
③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。
④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。
⑤リアクタンスが位相の変化を示す。
? ?
位相差Φ=tan-1(X/R)の
計算について
複素数の扱いからΦを
みよう。
インピーダンスの直列接続
インピーダンス
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
Z2
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
直列接続
E
Z1
1
jωC
実軸
0
0
jωL+
虚軸
1
jωC
Z
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-5-4
インピーダンスと位相
虚
R 実軸
軸 今度は逆に、
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
実軸 このとき電圧の位相は進む。
Z
のように、
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
①虚部の符号をまとめる。
②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。
③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。
④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。
⑤リアクタンスが位相の変化を示す。
? ?
位相差Φ=tan-1(X/R)の
計算について
複素数の扱いからΦを
みよう。
インピーダンスの直列接続
インピーダンス
Z
E = ZI
回路全部(RLC)を一個
のZ素子のように扱って、
と表すのがインピーダンスです。
Zの極座標表示は、
jωL+
虚軸
[
R2 + ωL -
1
ωC
]
2
です。
0
Z2
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
│E│ =│Z││I│の│Z│はもちろん、
│Z│=
直列接続
E
Z1
1
jωC
実軸
虚軸
(電流に対する電圧の位相)
であることに注意する。
虚軸
0
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
実軸 このとき電圧の位相は進む。
Z
実軸 キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
0
Z
①虚部の符号をまとめる。
②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。
③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。
④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。
⑤リアクタンスが位相の変化を示す。
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-5-5
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分
は、リアクタンスと呼び、
(
)
位相の変化を示す。
まとめて、
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
このとき電圧の位相は遅れる。
? ?
位相差Φ=tan-1(X/R)の
計算について
複素数の扱いからΦを
みよう。
逆数のアドミッタンス
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
Z
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
インピーダンスの直列接続
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
電気回路第1スライド10-6-1
このように
インピーダンスの面目躍如といったところなのが直列接続の場合です
Z1
Z2
Zn
すなわち
①直列接続では、Zのメリットが大きい。
②電圧はZ1I+Z2I+Z3Iと足すとよい。
③Z=Z1+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。
④虚部は差し引きされるので注意。
!
演習を少しやりましょう。
逆数のアドミッタンス
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
Z
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
E = ZI
I = YE
Z1
Z2
Z1 I
Z2 I
Zn
Zn I
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
①直列接続では、Zのメリットが大きい。
②電圧はZ1I+Z2I+Z3Iと足すとよい。
③Z=Z1+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。
④虚部は差し引きされるので注意。
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
インピーダンスの直列接続
E
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
電気回路第1スライド10-6-2
直列接続
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、このようになります。
!
演習を少しやりましょう。
逆数のアドミッタンス
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
Z
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
E = ZI
I = YE
Z1
Z2
Z1 I
Z2 I
Zn
Zn I
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2Z
+ Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ... として、
E = ZI と書くことができる。
①直列接続では、Zのメリットが大きい。
②電圧はZ1I+Z2I+Z3Iと足すとよい。
③Z=Z1+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。
④虚部は差し引きされるので注意。
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
インピーダンスの直列接続
E
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
電気回路第1スライド10-6-3
直列接続
直列回路ですからまず電圧を足す。
Iで整理されますが、
すると、このように…
合成インピーダンスです。
Zを足してしまうと、
!
演習を少しやりましょう。
逆数のアドミッタンス
インピーダンスと位相
インピーダンスの虚数部分 虚軸
(リアクタンス)
0
位相の変化を示す。
(電流に対する電圧の位相) 虚軸
Z
実軸
実軸
Z
インダクタンスが効いていると
虚部がプラス(上に向く。)
このとき電圧の位相は進む。
キャパシタンスが効いていると
虚部がマイナス(下に向く。)
このとき電圧の位相は遅れる。
0
E = ZI
I = YE
Z1
Z2
Z1 I
Z2 I
Zn
Zn I
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
インピーダンスの直列接続
E
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
電気回路第1スライド10-6-4
直列接続
直列回路ですからまず電圧を足す。
Iで整理されますが、
すると、このように…
合成インピーダンスです。
Zを足してしまうと、
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
ただし、 虚部は差し引き0の場合あり。
E = ZI
①直列接続では、Zのメリットが大きい。
②電圧はZ1I+Z2I+Z3Iと足すとよい。
③Z=Z1+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。
④虚部は差し引きされるので注意。
!
演習を少しやりましょう。
インピーダンスの直列接続
直列接続
E
Z1
Z2
並列回路のYとZ
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
Y1
Y2
Yn
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
電気回路第1スライド10-7-1
逆数のアドミッタンス
まず、先ほどまでのお話で、
と、電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
E = ZI
I = YE
ただし
Y=1/Z
電流も電圧で表わそうと考えました。
通常、変数aの次はbを用いますが、
わけわかんない量なのでZにしちゃった。
しょうがないので前に戻ってYというわけで、
①Zの逆数Yを考える。
②Yは、アドミッタンス。
③図では反対側にYがある。
④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。
⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。
⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。
? ?
逆数の計算について
上のグラフの変化だけ
まとめました。
インピーダンスの直列接続
直列接続
E
Z1
Z2
並列回路のYとZ
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
Y1
Y2
Yn
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-7-2
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で、
複素共役を分子分母にかける。
①Zの逆数Yを考える。
②Yは、アドミッタンス。
③図では反対側にYがある。
④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。
⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。
⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。
? ?
逆数の計算について
上のグラフの変化だけ
まとめました。
インピーダンスの直列接続
Z2
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
直列接続
E
Z1
並列回路のYとZ
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
Y1
Y2
Yn
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-7-3
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で、
複素共役を分子分母にかける。
①Zの逆数Yを考える。
②Yは、アドミッタンス。
③図では反対側にYがある。
④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。
⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。
⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。
虚
軸
Z
このZに
ZとYの関係を
対して
図で示すと、
実軸
0
Yは、
Y こちらに
? ?
逆数の計算について
上のグラフの変化だけ
まとめました。
インピーダンスの直列接続
直列接続
E
Z1
Z2
並列回路のYとZ
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
Y1
Y2
Yn
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-7-4
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で、
複素共役を分子分母にかける。
①Zの逆数Yを考える。
②Yは、アドミッタンス。
③図では反対側にYがある。
④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。
⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。
⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
虚 電圧の位相が
このZに
軸 φ進むとき
対して
φ
0
Z
実軸
ーφ Yは、
電流の位相
こちらに
Y はφ遅れるので、
? ?
逆数の計算について
上のグラフの変化だけ
まとめました。
インピーダンスの直列接続
Z2
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
直列接続
E
Z1
並列回路のYとZ
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
Y1
Y2
Yn
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-7-5
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で、
複素共役を分子分母にかける。
①Zの逆数Yを考える。
②Yは、アドミッタンス。
③図では反対側にYがある。
④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。
⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。
⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。
当然│Z│が
反対に│Z│がZ
虚 電圧の位相が
軸 φ進むとき
大きく
小さくなれば Z
な
れば
φ
0
実軸
ーφ
│Y│はそれに
│Y│は大きくなる。
電流の位相
Y 反比例して小さく、
Y はφ遅れるので、
? ?
逆数の計算について
上のグラフの変化だけ
まとめました。
インピーダンスの直列接続
Z2
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
直列接続
E
Z1
並列回路のYとZ
Zn
Z1I
Z2I
ZnI
E = Z1I + Z2I + Z3I+ ...
= (Z1 + Z2 + Z3 + ...) I
Z = Z1+ Z2+ Z3+ ...
E = ZI
直列回路ですからまず電圧を足す。
すると、Iで整理されますが、
Zを足して合成インピーダンスです。
Y1
Y2
Yn
複素数は、実部と虚部を分けてたす。
虚部は差し引き0の場合あり。
電気回路第1スライド10-7-6
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で、
複素共役を分子分母にかける。
①Zの逆数Yを考える。
②Yは、アドミッタンス。
③図では反対側にYがある。
④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。
⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。
⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。
Yは電流の位相を
反対に│Z│がZ
虚 電圧の位相が
進めます。
軸 φ進むとき
小さくなれば
もちろん位相が
変化すると
φ
0
実軸
ーφ
│Y│は大きくなる。
電流の位相
Yも同様に変化する。
Zが電圧の
はφ遅れるので、
(これはただの抵抗)
Y位相を遅らせる
場合には、
? ?
逆数の計算について
上のグラフの変化だけ
まとめました。
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
並列回路のYとZ
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
Zの虚部が正だと
電圧の位相を進める。
Zは抵抗のように扱える。
この時アドミッタンスは、虚部が負で、
電流の位相を遅らせる。
インピーダンスは複素数で、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
Zの虚部が負のとき、
電圧の位相は遅れる。
電気回路第1スライド10-8-1
一方、なぜわざわざ逆数のYなどを定義す
るのかというのがこの並列回路のケースで、
Y1
Y2
Yn
後で定義されたYを用いると、並列回路では
電流を足せば良い。
①Yを使うのは並列回路。
②並列回路で電流を足す。YEを足す。
③インピーダンスだと1/Zを足します。
④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。
!
演習を少しやりましょう。
(前のと同じです。)
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
並列回路のYとZ
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
Zの虚部が正だと
電圧の位相を進める。
Zは抵抗のように扱える。
この時アドミッタンスは、虚部が負で、
電流の位相を遅らせる。
インピーダンスは複素数で、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
Zの虚部が負のとき、
電圧の位相は遅れる。
電気回路第1スライド10-8-2
一方、なぜわざわざ逆数のYなどを定義す
るのかというのがこの並列回路のケースで、
Y1
Y2
Yn
後で定義されたYを用いると、並列回路では
電流を足せば良いので、
I = Y1E+ Y2E+ Y3E+ ...
ですから
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
①Yを使うのは並列回路。
②並列回路で電流を足す。YEを足す。
③インピーダンスだと1/Zを足します。
④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。
!
演習を少しやりましょう。
(前のと同じです。)
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
並列回路のYとZ
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
Zの虚部が正だと
電圧の位相を進める。
Zは抵抗のように扱える。
この時アドミッタンスは、虚部が負で、
電流の位相を遅らせる。
インピーダンスは複素数で、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
Zの虚部が負のとき、
電圧の位相は遅れる。
電気回路第1スライド10-8-3
抵抗の並列接続の場合に
1/Z
1/R = 1/Z
1/R11++ 1/Z
1/R22++ 1/Z
1/R33++...
...
Y1
Y2
Yn
となったのをZで置き換えると、並列
接続のインピーダンスは、少し計算
が大変。
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
①Yを使うのは並列回路。
②並列回路で電流を足す。YEを足す。
③インピーダンスだと1/Zを足します。
④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。
!
演習を少しやりましょう。
(前のと同じです。)
逆数のアドミッタンス
E = ZI
I = YE
電圧は電流にインピーダンス
Zを掛けて表現しましたが、
ただし
Y=1/Z
虚 Yは電流の位相を
軸 進めます。
実軸
0
このYをアドミッタンスと呼びます。
電流を計算するときに便利です。
ただし、Yの計算は割り算で複
素共役を分子分母にかけます。
Zが電圧の
位相を遅らせる
場合には、
並列回路のYとZ
Y1
Y2
Yn
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
Zの虚部が正だと
電圧の位相を進める。
Zは抵抗のように扱える。
この時アドミッタンスは、虚部が負で、
電流の位相を遅らせる。
インピーダンスは複素数で、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
Zの虚部が負のとき、
電圧の位相は遅れる。
電気回路第1スライド10-8-4
インピーダンスの並列接続の場合は、
抵抗の並列接続の場合に
1/Z
1/R = 1/Z
1/R11++ 1/Z
1/R22++ 1/Z
1/R33++...
...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
となったのをZで置き換えると、並列
という配慮が必要です。
接続のインピーダンスは、
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
①Yを使うのは並列回路。
②並列回路で電流を足す。YEを足す。
③インピーダンスだと1/Zを足します。
④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。
!
演習を少しやりましょう。
(前のと同じです。)
並列回路のYとZ
Y1
Y2
Yn
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
スライドの終了
電気回路第1スライド10-9-1
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
Zは抵抗のように扱える。
①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。
②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。
③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。
④虚部が負ならば遅らせる。
! !
演習を少しやりましょう。
RやL、C、RL回路です。
次回までの演習課題です。
並列回路のYとZ
Y1
Y2
Yn
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
スライドの終了
電気回路第1スライド10-9-2
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
Zは抵抗のように扱える。
インピーダンスは複素数で、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。
②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。
③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。
④虚部が負ならば遅らせる。
! !
演習を少しやりましょう。
RやL、C、RL回路です。
次回までの演習課題です。
並列回路のYとZ
Y1
Y2
Yn
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
スライドの終了
電気回路第1スライド10-9-3
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、 Zの虚部が正だと
電圧の位相を進める。
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
この時アドミッタンスは、虚部が
Zは抵抗のように扱える。
負で、電流の位相を遅らせる。
インピーダンスは複素数で、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。
②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。
③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。
④虚部が負ならば遅らせる。
! !
演習を少しやりましょう。
RやL、C、RL回路です。
次回までの演習課題です。
並列回路のYとZ
Y1
Y2
Yn
インピーダンスの並列接続の場合は、
1/Z = 1/Z1+ 1/Z2+ 1/Z3+ ...
となるが、割り算は共役複素を掛けて
という配慮が必要です。
当然アドミッタンスだときれいに書けて
I = YE
とアドミッタンス
Y = Y1+ Y2+ Y3+ ...
を足すとよい。
スライドを終了します。
電気回路第1スライド10-9-4
今日のまとめ
電流I、電圧Eが複素表示のとき、 Zの虚部が正だと
電圧の位相を進める。
E=ZIなる、Zがインピーダンス。
この時アドミッタンスは、虚部が
Zは抵抗のように扱える。
負で、電流の位相を遅らせる。
インピーダンスは複素数で、
Zの虚部が負のとき、
実部が抵抗分、
虚部がLやC等のリアクタンス分。
電圧の位相は遅れる。
①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。
②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。
③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。
④虚部が負ならば遅らせる。
! !
演習を少しやりましょう。
RやL、C、RL回路です。
次回までの演習課題です。
電気回路第1スライド付録
補足1:1/j=-j
当たり前なので、わかっている人は見ないで下さ
いね。jで割ったら、マイナスjです。
[1] j は、その定義から、
j2 =-1
です。これをjで割ると、
j =-1/j
となります。もちろん-1倍して、
1/j =-j
となります。1/j が j になるのであれば、j じゃなく
て-1の性質になってしまいますね。
[2] 単純に複素共役を掛けていただいて結構です。
1
-j
-j
― = ――――
= ――――
=-j
j
j×(-j)
-j2
としていただいても、余計な努力をしてますが正し
い計算です。
[3] 一方、j 倍することは位相を90°進めるというこ
とを思い出していただければ、jωで割って、位相が
遅れたことと合わせて、 j で割るのは逆に90°位
相を遅らせる効果と考えると簡単です。位相を逆
でマイナス j と理解ください。
位相を90°進める
虚
軸
j
1
(-1)2=j4=j×―
j =1
j2 =-1 0
実軸
1
― = j3 = -j
j
位相を90°遅らせる
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足2:│Z│の計算について
めんどうなのでjωL+1/jωCをjXとしておくと、
Z=R+jX
です。図示すると左のようになります。
半径│Z│の円
jX
虚
軸
Z
虚
軸
Z
半径1の円
R
0
実軸
ここで、│Z│をZのベクトルの大きさにしてあげると、
実軸と虚軸は垂直に設定してありますから二乗の
和のルートで、
│Z│=(R2+X2)1/2
注意として、Z2をとると
Z2=R2-X2+2jRX
と変な数になりますので、あえていうと、
│Z│2=ZZ
です。ただしZはZの複素共役R-jXです。
この│Z│を用いると、偏角φを用いて、
R=│Z│cosφ
X=│Z│sinφ
0
実軸
となりますから、Zは、
Z=│Z│εjφ
となりまして、Zは半径1の円を半径│Z│の
円に│Z│倍する効果との効果、すなわち
位相をφ回転
させる効果の2つ
があるのですね。
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足3:Zも│Z│もインピーダンス
│Z│をZ(複素数)も│Z│(正の実数)もインピーダ
ンスと呼びます。これは複素電流 I も単に電流と
言っているのと同じですが、少しわかりにくいです
ね。「インピーダンス50 [Ω] が合わないから反射す
る。」とかよく用いる表現なのでどちらもインピーダ
ンスと言うと覚えるしかないのですが、注意くださ
い。
なお、用語の違いは大した間違いではありません
が、物理的意味を間違うと致命的です。例えば、
Z1
Z2
Zn
のような回路で、直列回路のインピーダンスは、
Z = Z1 + Z2 + Z3 + ... + Zn
となります。これは複素数を巧みに使って、位相の
ずれをちゃんと取り込んでいるので成り立つ式で
す。これを誤って、
? = │Z1│+│Z2│+│Z3│+ ... +│Zn│
と計算するとなんの意味もない変な数を作ってしま
います。
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足4: tan-1(X/R) と位相差
tan-1(X/R)はX/Rによって単調増加する関数関数で右図の通りです。LやC
の効果がいくらあっても、せいぜい±90°の位相差にしかなりません。細
かく見ると、φはXが正なら正で位相が進み、Xが負のとき負となり、位相
が遅れます。 Xが0の時φ=0は当たり前として、R=Xのときはtanが1です
から、45゜の位相の進みです。(以上は前回の補足とほぼ同じ。)
つぎにjωL-1/jωCを、jXとおけば、
Z = R + jX
①
と表せます。このときのZは、位相差φを含めて、
Z =│Z│εjφ
②
となります。もちろん、例のオイラーの公式から、
Z =│Z│εjφ
=│Z│(cosφ + jsinφ )
③
もちろん、①と③から、
R + jX =│Z│cosφ + j│Z│sinφ
④
実部と虚部がそれぞれ等しいですから、
R =│Z│cosφ
⑤
jX = j│Z│sinφ
⑥
の2式が得られます。タンジェントは割り算ですから、⑥割る⑤で、
jX
j│Z│sinφ
―― = ――――――
⑦
R
│Z│cosφ
= jtanφ
⑧
ですから、
φ = tan-1(X/R)
⑨
が得られますね。
φ=tan-1 X
R
90°
0
X
R
-90°
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足5:Φを求めよう。
補足4よりは少し簡単に述べて、Zは│Z│と偏角φを用いて、
R =│Z│cosφ
①
X =│Z│sinφ
②
jφ
Z=│Z│ε
③
となりましたから、②÷①より、
X/R = tanφ
④
となりますね。
つぎに、このεjφを掛ける意味ですが、電流を│I│εjθとすると、電圧は、
E = ZI
⑤
jφ
jθ
=│Z│ε │I│ε
⑥
=│Z││I│εjφεjθ
⑦
j(φ+θ)
=│Z││I│ε
⑧
最後の式では指数関数の性質を使っていますね。このためZの位相は電圧
の位相をいくらすすめるかという量となっています。
もちろん、逆数のアドミッタンスは電流の位相を電圧に対してどれだけ進めるか
を示す量です。
最後に虚部が正の時jωLに近いのですがインピーダンスの中の位相差φを
正にとります。
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足6:逆数の計算について
抵抗の接続のときは、単にRとかR分の1で十分でしたね。でもこれが複素数となると話が少し複雑になり
まして、逆数もそう簡単なことではなくなりました。
Z =R+jX
①
虚
Z
のとき、定義より、
軸
Y =1/(R+jX)
②
Φ
実軸
ですが、言わずと知れたZの複素共役、R-jXを分子分母に掛けますね。
Y =(R-jX)/(R+jX)(R-jX)
-Φ
0
=(R-jX)/(R2+X2)
③
Y
となりました。もちろん、実部、虚部を分けて書くと、
2
2
2
2
Y =R/(R +X )+j(-X)/(R +X )
④
Zの複素共役
となります。
ですが、むしろ③の表現にご注意ください。1/(R2+X2)はもちろんただの実数の比例係数ですから、YはZ
複素共役の数倍というものです。(方向が変わらないということ。)本文中で、「インピーダンスが電圧の位
相をΦ進めるとき、アドミッタンスは電流の位相をΦ遅らせるから」と述べていましたが、この関係でYはZと
偏角(YやZのベクトルが実軸となす角)がマイナス1倍になるのはもともとの複素共役の性質そのままで
す。
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足7:極座標グラフの全表示
(1)位相(偏角φ)の変化する場合
虚 電圧の位相が
軸 φ進むとき
φ
0
虚
軸
Z
実軸
虚
軸
もちろん位相が
変化すると
実軸
0
ーφ
電流の位相
Y はφ遅れる。
Yは電流の位相を
進めます。
実軸
Yも同様に変化する。
(これはただの抵抗)
0
Zが電圧の
位相を遅らせ
る場合には、
(2)大きさ│Z│の変化する場合
虚 当然│Z│が
軸 大きく
な
Z
Z
虚
軸
れば
実軸
0
Y
│Y│はそれに
反比例して小さく、
虚 反対に│Z│が
軸 小さくなれば
実軸
0
実軸
0
Y
Y
│Y│は大きく、
!!
わかったら(でなくっても)
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
発展1:前回の演習問題の解答
[1] 交流100 [V](実効値)を複素表示してください。初期位相はθとしましょう。
(答)実効値100 V と言っているのですから、100にεの指数を掛けましょう。こたえは、100εjθです。
[2] εj(ωt+π/6)を t で微分するといくらですか
(答)εt を t で微分するとそのままεt でしたね。でも t のところが関数ωt+π/6 になってますから、
d j(ωt+π/6)
d
―[ε
] = ―(dt
ωt+π/6)×εj(ωt+π/6) = ωεj(ωt+π/6) となります。
dt
[3] 100εj(ωt-π/12)を t で積分するといくらですか
(答)εt を t で積分してもそのままεt でしたね。でもωt-π/12 のところは面倒ですが、微分して元
に戻ればよいと考えると、微分してωが掛けられるので、積分では割っておきましょう。
∫
100j(ωt-π/12)
100εj(ωt-π/12)dt = ――
+Const. となります。
ωε di
[4] I =10εj(ωt+θ)のとき、L
を I であらわしなさい。(t を消去すること。)
dt
(答)[2] と同様に微分して、
di
d
j(ωt+θ)] = L×10ωεj(ωt+θ)= ωL×10εj(ωt+θ) = ωLI となります。
L―
L―[10ε
dt =
dt
1
[5] j +
を計算しなさい。
j
(答)敢えて通分してみましょう。第1項に分子分母に j を掛けます。
1
j×j
1
(-1) + 1
0
j+―
+―
= ――
j = ―――
j
j = ―――――
j
j = 0 が答えです。
[6] jω +
1
=0 となるωを求めなさい。
jω
(答)ほとんど同様に jω を掛けます。
1
jω × jω
1
-ω2 + 1
jω + ――
=
―――――
+
――
=
―――――
= 0 として、
jω
jω
jω
jω
ω=1 がこたえです。
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
発展2:インピーダンスの接続の演習
(1)まず、抵抗だけの1[Ω]とインダクタンスと思われるj[Ω]を直列接続するインピーダンスはいくらか。
1
j
(答)単に足すので1+jですね。
(2)では、それに(ヒントキャパシタンスと思われる)1/j[Ω]を直列接続するインピーダンスはいくらか。
1
1/j
j
(答)前問題の1+jに1/j
を加えます。1/jは-jの
ため、1+j-j=1です。
(3)つぎのような並列のインピーダンスはどうでしょうか
1
j
(4)ではこれはどうですか
1+j
1-j
(答)もちろんZー1=1ー1+jー1のため
Z=(1/1+1/j)ー1
=(1-j)ー1=(1+j)/(12+12)
=1/2+j/2
(答)Z=[1/(1+j)+1/(1-j)]ー1
=[(1/2+j/2)+(1/2-j/2)]ー1
=1ー1
=1
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
発展3:各回路のインピーダンス
基本的な回路のインピーダンスを出しましょう。まず、抵抗1個の場合は抵抗値Rがそのまま
Z =R
①
と化けるだけです。インダクタンス1個だと、例の電圧は電流の微分というのから、
e = Ldi/dt
②
から、
E = LjωI
③
より、
Z = jωL
④
となります。キャパシタンスの場合も電流は電圧の微分を用いて、
i = Cde/dt
⑤
ですから、
I = CjωE
⑥
となって
Z = E/I=1/jωC
⑦
となります。
さらに、少し複雑な回路を考えて、RL直列回路だと、インピーダンスを足すことから、
Z = (Rのインピーダンス)+(Lのインピーダンス)
= R+jωL
⑧
ですし、RL並列回路だと、インピーダンスだと逆数を足さないといけないので、
Zー1 = (Rのインピーダンス)ー1+(Lのインピーダンス)ー1
= 1/R+1/jωL=(jωL+R)/jωLR
⑨
Z = jωLR/(jωL+R)=jωLR(-jωL+R)÷[(jωL+R)(-jωL+R)]
= (ω2L2R+jωR2)/(R2+ω2L2)
ここをクリックしてもとの
= ω2L2R/(R2+ω2L2)+jωLR2/(R2+ω2L2)
⑩
スライドに帰りましょう。
となって少し変形が大変ですね。
!!
電気回路第1スライド付録
発展4:次回までの演習問題
[1] インピーダンスが 100j となる回路および角周波数の組み合わせを3つ考えなさい。
[2] インピーダンスが 50-100j となる回路および角周波数の組み合わせを2つ考えなさい。
[3] 次の回路のインピーダンスを求めなさい。
1 [Ω]
1 [mH]
0.001 [F]
ω= 1000 [rad/s]
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。