F - VRL

パターン認識
ー特徴抽出と不変特徴抽出ー
担当:和田 俊和
部屋 A513
Email twada@ieee.org
講義資料はhttp://wada1.sys.wakayama-u.ac.jp/PR/
Fourier 変換
Mellin変換
演習課題
Fourier 級数展開からFourier変換へ
• 内積の積分区間を無限大に拡大し、周波
数を実数領域とした複素型のFourier級数
展開とみなすこともできる。
F (ω )= ∫
∞
−∞
f (t ) e
− jwt
dt
• Fourier変換は、実関数f(t)から複素関数
F(ω)への写像である。
• その際に、関数の変数tは周波数を表す変
数ωに変わる。
Fourier変換と畳み込み積分(1)
• 畳み込み積分
∫
=∫
f (t ) * g (t ) =
∞
−∞
∞
−∞
f (ξ ) g (t − ξ ) d ξ
f (t − ξ ) g (ξ ) d ξ
f (ξ )
g (ξ )
ξ
反転してtずらす
掛け合わせて積分
ξ
結果
g (ξ − t )
t
ξ
f (t ) * g (t )
t
Fourier変換と畳み込み積分(2)
• 畳み込み積分のFourier変換
∫ (∫
∞
∞
−∞
−∞
)
f (ξ ) g (t − ξ )dξ e
• 単なる掛け算になる。
− jω t
dt = F (ω )G(ω )
Fourier変換と自己相関関数(1)
• 自己相関関数
R (t ) =
∫
∞
−∞
f (ξ ) f (ξ + t ) d ξ
f (ξ )
ξ
掛け合わせて積分
ξ
結果
f (ξ + t )
R (t )
t
Fourier変換と自己相関関数(2)
自己相関関数のFourier変換
∫
∞
−∞
(∫
∞
−∞
)
f (ξ ) f (ξ + t )dξ e
− jω t
dt = F (ω ) F (ω )
*
=|| F (ω) ||
パワースペクトル
2
Fourier変換の結果はパワーと位相に分解できる
2
パワー: P (ω ) =|| F (ω ) ||
位相 : φ (ω ) = tan ( Im( F (ω )) / Re( F (ω )) )
−1
Fourier 変換と平行移動
f (t − µ )
f (t )
−µ
t
∞
F (ω )=∫ f (t )e
−∞
− jwt
t
dt
∞
F ' (ω ) = ∫ f (t − µ )e
−∞
∞
= ∫ f (T )e
回転因子
=e
dt
− jw ( T + µ )
−∞
− jωµ
− jwt
F (ω )
dT
平行移動成分の除去方法(1)
パワースペクトルを求める
F ' (ω ) = e
− jωµ
F '*(ω ) = e
jωµ
F (ω )
F (ω )
*
|| F ' (ω ) || =|| F (ω ) ||
2
2
これを行うと、全ての位相成分が消えてしまうため、平行移動以
外の成分も消えてしまい、識別に有効な情報まで消えてしまう。
ではどうするのが正しい方法か?
平行移動成分の除去方法(2)
対数を求める
F ' (ω ) = e F (ω )
log F ' (ω ) = − jωµ + log F (ω )
− jωµ
離散化して考える
log F ' (ω i ) = − jω i µ + log F (ω i )
δ = − j (ω1 , ω 2 , L , ω M )とすると、平行移動の成分は
µδで表される。
log F ' (ω )
µδ
δ ⊥ 直交補空間
log F (ω )
平行移動成分の除去方法(2続き)
直交補空間への射影
F ' = log F ' (ω )
F = log F (ω )
とする。このとき、
F' = µδ + F
が成立している。ここで、次式が成立する
T
T



δδ 
δδ
 I −
F' =  I −
F
2 
2 
 || δ || 
 || δ || 
log F ' (ω )
この方法は、平行移動成分しか除去しない
ので、識別に有効な他の情報は失われない。
µδ
log F (ω )
Mellin変換:一般化されたモーメント
• 定義
∞
F(ω ) = ∫ f (t )t dt
−∞
• 連続次数のモーメント
ω
Mellin 変換と伸縮
f (α t )
f (t )
t
∞
F(ω )=∫ f (t )t dt
−∞
t
ω
∞
F' (ω ) = ∫ f (α t )t dt
ω
−∞
あとは、対数を求めれば、
Fourier変換の場合と同じ
ようにして不変特徴が求
められる。
∞
α ∫− ∞
=1
=α
− (ω +1)
( α ) dT
f (T ) T
F(ω )
ω
不変特徴の導出方法
• 変換
– Fourier変換:平行移動などの加法的変換を除
去するために用いる。
– Mellin変換:拡大・縮小などの乗法的変換を
除去するために用いる。
• これらの結果に対して対数を求め、変換に
対する直交補空間に射影することによって
不変特徴量が求められる。
演習課題
パターンf(x)を観測する際に、観測誤差
n(x)が加わり、且つ、パターンの振幅がα
倍され α ( f ( x) + n( x)) が観測されるもの
とする。
n(x)のみが既知である場合、上記の変換
に対する不変特徴を求める方法を説明し
なさい。