r - 日本機械学会

OS0108
M&M2009 2009 7 2426 Copyright© 傾斜組成制御した円筒電波吸収体の電磁場と熱弾性応力
髙 橋
智 菅 野 良 弘 Thermoelastic Stresses and Electromagnetic Fields in Cylindrical
Wave Absorbers with Controlled Graded Compositions
Satoshi TAKAHASHI*3 and Yoshihiro SUGANO
*3
Department of Mechanical Engineering, Ishinomaki Senshu University
1 Shinmito, Minamisakai, Ishinomaki-shi, Miyagi, 986-8580 Japan
We propose the electromagnetic wave absorbers with controlled graded compositions (FG type
EM-wave absorbers) for a hollow cylinder and investigate electromagnetic noise problem and
plane-strain thermoelestic problem of those FG type EM-wave absorbers. The absorption layer with
graded compositions is considered as a multilayered absorption layer. We present the analytical solutions
of electromagnetic and temperature fields in the FG type cylindrical EM-wave absorbers subjected to the
irradiation power. The desired thermal stress distributions are also analyzed based on the stress function
method. Numerical calculations are carried out for the FG type EM-wave absorbers with absorption
layers composed of epoxy resin matrix and conductive titanium oxide particles.
Key Words : Thermal Stress, Functionally Graded Material, Analytical Solution, EM-Wave Absorber
1. 緒
置ベクトルを表す.円筒に入射する電磁波は,-x 軸方
言
向に進行する平面電磁波とし,電磁波照射による吸収
電波吸収体は,材料の電磁気特性による電磁エネル
層内部の熱発生 Pi (r, ,t) と時間変動する内外媒体温
ギの熱エネルギへの変換や多重干渉を利用して電磁波
度 Tin (t) , Tout (t) によって円筒が加熱されるとする.
を制御する複合材料である.電波吸収体が高電力を受
本解析は x 軸について対象な問題である.なお,熱応
ける場合,
材料内部の温度は大きく上昇することから,
材料内部の温度上昇による熱応力問題が予想される.
力は平面ひずみ熱弾性問題として定式化する.
22 電磁場と電波吸収性能の解析
解析モデ
従って,材料設計のためには電磁場および温度場と熱
ルの電磁場に付した上添字 I,F,B,S はそれぞれ,
応力場の検討が重要である.これまでに著者らは,吸
入射,前進,後退,散乱を表し,複素量には記号の上
収層を傾斜組成制御した傾斜機能型電波吸収体を提案
にドットを付す.本問題において,各吸収層( i = 1 ~ n )
し,平板形状に関する研究
を報告してきた.
(1), (2)
本研究では,半径方向に傾斜組成制御した吸収層を
もつ傾斜機能型円筒電波吸収体について,電磁波問題
と熱弾性問題の理論解析を行う.さらに,解析解を用
いた数値計算により,電場と電波吸収性能,温度場と
熱応力場を定量的に評価する.
と外媒体の電磁場が満足すべき基礎微分方程式は次式
で表される.
H i
=0
t
(i = 1 ~ n, out) ···········(1)
E i
i E i = 0 H i i
t
E i + μ i
Scattered wave
S
S
Eout
H out
2. 傾斜組成制御した円筒電波吸収体の解析
(986-8580 1).
*2
.
E-mail: s-takahashi@isenshu-u.ac.jp
・
・
Pn
Pi (r,θ,t)
Pi
κ
λ1 1 κ
λ0 0
P1 P
0
Absorber (FG type)
hout
EiB H iB
・・・
・
ε1 μ1
Outer medium
T = Tout (t )
・・・
・・
・
・・
・
・
・・
κi
・
・・
・
・
・
λi
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
*1
・
・
・
・
度場 Ti (r, ,t) と熱弾性問題を解析する.ここで r は位
・
Layer i
μi δ i
εi
・
i
κn
・
・
i
λn
・
制御した吸収層を各層が均質で相異なる n 層として,
多層無限円筒の電場 E (r,t) と磁場 H (r,t) および温
・
εn
図 1 に示すように,傾斜組成
・
・
21 解析モデル
Layer n
μn δ n
EiF H iF
δ1 Layer 1
r
Incident wave
I
I
Eout
H out
hin
T = Tin (t )
z
Metal (Layer 0)
y
θ
r0 r1 r2
ri ri +1
rn rn +1
z
Fig. 1 Analytical model of FG type EM-wave absorber
for hollow cylinder
x
ここで, i , μ i , i はそれぞれ複素誘電率,復素透
磁率,導電率である.平面電磁波には 2 種類の偏波が
図 1 の解析モデルから吸収層を取除いた金属円筒単体
の場合の散乱波 E S0 , H S0 についても同様に解析でき
存在するが,ここでは TE モード(電場方向は z 成分
る.得られた散乱波電場と,式(10)の右辺第 1 項の散
のみで,磁場は z 成分を持たない)を取扱う.また,
乱波電場との比を電波吸収性能として次式で表す(3).
本問題における解φの周期性と対称性,散乱波電場の
放射条件から次式を導入する.
(r, ,t) = (r, 2 + ,t), (r, ,t) = (r, ,t) ···· (2)
E S 0, (r ) ······················································· (3)
z out
金属層表面と円筒外面での境界条件は次式で表される.
E F + E B = 0, (r = r ) ··················································(4)
z1
z1
0
(r = rn+1 ) ····················· (5)
+ H I out E znF + E znB = E zS out + E zI out
H Fn + H Bn = H S out
吸収層内における連続条件は次式で表される.
F
B
E zi1
+ E zi1
= E ziF + E ziB (r = ri , i = 2 ~ n) ·········· (6)
H Fi1 + H Bi1 = H Fi + H Bi 角周波数ωによりフェーザ表示した時間因子 e j t を用
いて式(1)を変数分離法で解き,式(2)の条件を適用する
と,各層( i = 1 ~ n )の電磁場は次式で得られる.
{
}
E zi = A im J m ( i r) + B imY ( i r) cos m e j t ·······(7)
m=0
H i =
1
jμi
{ A
i
im
m=0
J m ( i r)
}
+ B imY ( i r) cos m e j t
········ (8)
ただし i は次式で表される伝搬定数である.
i =
jμ i ( ji + i ) ·················································(9)
電磁解析において j は虚数単位を表す.ここで,J m ( ) ,
Ym ( ) はそれぞれ m 次の第 1 種,第 2 種ベッセル関数
であり, A , B は未知係数である.また,ダッシュ
im
im
記号は各関数の一回微分を表す.
外媒体中の電磁波は,
式(1)の変数分離法と式(2),(3)の条件により得られる散
乱波と,入射平面電磁波を円筒座標系に変換した入射
波の重ね合わせにより次式のように表される.
E z out = C m H m(2) ( out r) cos m e j t
m=0
+ E0 m=0
H out =
2m
2( m1
1
jμ out
E0
+
jμ out
m
out C m H m(2) ( out r) cos m e jt
m=0
m=0
)
J m ( out r) j m cos m e j t ······ (10)
2
out
2
m
( m1m )
J m ( out r) j m cos m e j t (11)
ただし, out は式(9)の i を out に置換えた伝播定数であ
る.ここで H m(2) ( ) は m 次の第 2 種ハンケル関数であ
り, C は未知係数, E は入射波の振幅定数である.
m
0
各未知係数は,式( 4 ) ~ ( 6 )により決定される.一方,
out
S=
C
m
out
H m(2) ( out r) cos m
E S0
······················(12)
out
m=0
TM モードも同様の手順で解析できる.
23 温度解析
内部熱発生と時間変動する内
外媒体温度により加熱される多層円筒の非軸対称温度
場を解析する.なお,電磁エネルギによる内部熱発生
Pi (r, ,t) は次式で与えられる(4).
2
1
2
Ezi Im .(i ) + H i Im .( μ i ) (13)
Pi = i E zi +
2
2
本問題において金属層を含む各層( i = 0 ~ n )の温度場
{
}
Ti (r, ,t) が満足する基礎微分方程式,初期条件式,境
界条件式,連続条件式は次式で表される.
P
1 Ti
2Ti + i =
, (i = 0 ~ n) ······························(14)
i K i t
(Ti )t=0 = U i (z,t), (i = 0 = n) ·····································(15)
T0
hin T0 Tin (t) = 0, (r = r0 ) ·····················(16)
r
T
n n + hout Tn Tout (t) = 0, (r = rn+1 ) ···············(17)
r
T
T
i1 i1 = i i , Ti1 = Ti , (r = ri , i = 1 ~ n) ·····(18)
r
r
ここで, i は熱伝導率, K i は熱拡散率であり, hin ,
{
0
}
{
}
hout はそれぞれ円筒内外面の熱伝達率である.一次元
の温度関数に関して Vodicka の方法(5)を適用するため,
次式の有限フーリエコサイン変換と逆変換を導入する.
Tˆi0 (r,0,t) = 2 Ti d , (m = 0) ·································(19)
0
Tˆim (r, m,t) = 2 Ti cos m d , (m = 1 ~ ) ···········(20)
0
Ti =
1 ˆ
1 Ti0 (r,0,t) + Tˆim (r, m,t) cos m ··········(21)
2
m=1
式(19),(20)により式(14)~(18)を有限フーリエコサイン
変換し, Tˆ と Tˆ の温度場を Vodicka の方法に基づく
i0
im
一種の積分変換法で解析すると,所要の温度場は次式
で得られる.
1 Q (t) Aik 0 J 0 (dik 0 r) + Bik 0Y0 (dik 0 r)
2 k =1 k 0
2
+ ( Ail*0 ln r + Bil* 0 )Fl 0 (t) l=1
1 +
Q (t) Aikm J m (dikm r) + BikmYm (dikm r)
2 m=1 k =1 km
Ti =
{
}
{
}
2
*
*
+ ( Ailm
ln r + Bilm
)Flm (t) cos m ···········(22)
l=1
m(m 1)r m2 Aim + m(m 1)Bim
m=2 ただし
2
ukm lkjm Fklm (t0 )
l=1
······ (23)
2
t t ' dF (t ') dt
'
+ e km pkm (t ') lkjm klm
0
dt l=1
F1m (t) = Tin (t) , F2m (t) = Tout (t) ························· (24)
Qkm = e
kmt
+ (m + 1)(m 2)r mCim + (m + 2)(m 1)
rm
i m2
m
m
+
mr I im1 + m+2 I im2 + (m 2)r I im3
8 m r
(m + 2)
ここで dikm = km
*
K i , km は固有値,Aikm ,Bikm ,Ailm
,
*
Bilm は未知係数である.また, ukm , pkm (t) , lkjm は固
有関数を用いたUˆ km (r, m) , Pˆkm (r, m,t) , Lkjm (r) の級
r 3 f i0 dr r
r
4
I i04 = rf i0 dr, I i12 = r f i1dr
ri1
ri1
r
r
2
I i13 = f i1dr, I i14 = r f i1dr
·······(32)
ri1
ri1
r
r
I im1 = r m+3 f im , I im2 = r m+3 f im
ri1
ri1
r
r
I im3 = r m+1 f im , I im4 = r m+1 f im
ri1
ri1
I i02 =
値問題の境界条件と連続条件から決定される.
熱応力解析
前述の非対称温度場をもち,
平面ひずみ状態にある多層無限円筒の各層( i = 0 ~ n )
の非定常熱応力を応力関数法(6)により解析する.力の
釣合式を満足する応力関数χを次式のように導入する.
2
2 i
1 i 1 i
+
,
=
i
r 2
r 2 2 r r
1 i = r r rri =
r i
················· (25)
ひずみの適合条件式を式(25)の応力関数で表し,式(14)
を用いて変形,さらに初期時刻における温度が一様と
2
1
1 2 2 i = i f i0 + f i1 cos + f im cos m ····· (26)
m=2
ただし
fj =
1 Tˆij (r, j,t) 1 Pˆij (r, j,t)
, ( j = 0,1, m) ·· (27)
t
t
i
Ki
ここで i = Ei i / (1 i ) , Ei , i , i はそれぞれ各
層のヤング率,線膨張係数,ポアソン比を表す.また,
境界条件式と連続条件は次式のように表される.
rr 0 = 0, r 0 = 0, (r = r0 ) ······································· (28)
rri1 = rri , r i1 = r i (r = ri , i = 1 n) ······· (29)
uri1 = uri , u i1 = u i
rrn = 0, r n = 0 (r = rn+1 ) ····································· (30)
式(26)の特解を定数変化法で求め,得られた応力関数
の一般解を式(25)に代入すれば,所要の応力成分は次
式のように得られる.
Ci0
I i03
+ (2 ln r + 1)Di0 +
2I +
r
8 i02 r 2
2B
D
(2 ln r + 1)I i04 3i1 2rCi1 i1
r
r
1
r
1
i 3 I i12 I i13 I i14 cos 4 2r
2
r
r
ri1
r(1 + ln r) f i0 dr, I i03 =
r
ri1
ここで, Bi0 ~ Dim は未知係数であり式(28) ~ (30)およ
び回転と変位の一価性から決定される.同様にして,
i と r も得られる.また,各層の変位 uri と u i は,
応力関数を用いた変位-ひずみの関係より得られる.
すると,本問題において各層の応力関数 i が満足すべ
き微分方程式は次式で表される.
1
I
cos m ························(31)
m im4 r
ただし
数展開で表される.未知係数は式(16)~(18)および固有
24
Dim
3. 数
値
計
算
数値計算に際して次の無次元量を導入する.
r = r r0 , = K 0 t r0 2 , = (rn+1 r1 ) f ·········(33)
hin = hin rn+1 0 , hout = hout rn+1 0
ここで, f は作業周波数の波長を表す.数値計算例と
して,エポキシ樹脂の母材と導電性酸化チタンの分散
粒子から構成される吸収層を取扱う.
金属層はSUS304
とする.吸収層内の分散粒子の傾斜組成分布は半径座
標のベキ状型関数を用いる.各層の物性値は実験式と
複合則より算出する.想定した吸収体は誘電性材料で
あるため複素比透磁率 μ i = 1 ,導伝率 i = 0 とし,各
層の復素比誘電率は次式を用いて算出する(7).
ri = 4.0 + 0.4g i1.02 j 0.05 + 0.12g i1.12 ··················(34)
(
)
ここで,
g は樹脂 100 g に対する分散粒子の重量を表す.
内外媒質は自由空間とする.吸収層の分割層数 n は 10
層とし,作業周波数 10 GHz,入射波の照射電力密度は
0.5 ~ 2.0 kW m 2 ,周囲媒体温度 298 K を設定する.
rri = 2Bi0 +
文
(1)
(2)
献
Sugano Y., and Takahashi S., Journal of Solid
Mechanics and Material Engineering, Vol.2, No.7
(2008), pp.912-923.
Takahashi S., and Sugano Y., Transactions of the
Japan Society of Mechanical Engineers, Series A, ,
Vol.73, No.733 (2007), pp.1071-1078.
以下文献省略