4qq u = 4

市場経済分析特論(村上)中間試験
2008 年5月 30 日
Ⅰ.(70%)
(90 分)
(解説は 17 時から 208 で)
消費者の効用関数が u  4q1 q 2 であらわされているとする。このとき以下の問
に答えなさい。
① ヒ ッ クス 型 需要 関数 と 支出 関 数を 求め な さい 。ま た 支出 関 数は 価格 に 関し 凹 型
(Concave)関数であること、及び価格に関して1次同次であることを示しなさい。
② マーシャル型需要関数を求めなさい。
③ 第2財価格が変化したときの第1財消費の変化をスルツキー方程式で表し、2つの財の
関係(Gross/Net)(代替/補完)を調べなさい。
④ 第1財価格が変化したときの第1財消費の変化をスルツキー方程式で表しなさい。第1
財は正常財か Giffen 財か?
⑤ スルツキー行列(S)×価格ベクトル(p)がゼロになることを示しなさい。
Ⅱ.(30%)
消費者の効用関数が u  4q1 q 2 であらわされているとする。 q1 を電力ガスなど
の公共財、 q 2 をその他の消費財であるとする。 p1 と p 2 はそれぞれの価格である。
①現在のところ、 p1  100 、 p 2  200 、所得 X  2000 である。このとき、効用最大化の
下での均衡消費量はいくらか
②政府は税収を増やすために、以下の3つの案を検討中である。
(1) 公共料金 p1 を 100 から 20%値上げする。
(2) 消費税( p1 と p 2 にかかる)を 10%引き上げる。
(3) 所得税を 10%引き上げる(つまり実質所得が 2000 から 10%減る)。
このとき、消費者保護の立場からみて最も望ましい政策はどれか? Equivalent Variation
(EV, 等価変量)を用いて計算し答えなさい。
10
 0.909 であることを用いなさい。
11
なお必要であれば、
5
 0.913 、
6
市場経済分析特論(Microeconomics)
2008/05/30
Midterm exam (90 minutes)
H.MURAKAMI
Enjoy! (Session for right answers and explanation starts at 5 p.m.)
Ⅰ.(70%) Assume a consumer’s utility is u  4q1 q 2 , and answer the following sub
questions (1)-(4).
(1) Derive the Hicksian demand and expenditure function. Show that expenditure
function is concave in prices and homogeneous of degree one in prices.
(2) Derive the Marshallian demand.
(3) Assume p 2 has changed.
Write the Slutsky equation to investigate the effect of
p 2 ’s change on the consumption of q1 and comment whether q1 and q 2 are
(gross/net) (substitute/complement).
(4) Assume p1 has changed.
Write the Slutsky equation to investigate the effect of
p1 ’s change on the consumption of q1 and comment whether q1 is normal or
Giffen good.
(5) Show the product of Slutsky matrix and price vector is zero (Sp=0).
Ⅱ.(30%) Assume a consumer’s utility is u  4q1 q 2 , and answer the following sub
questions ① and ②.
p1 is the average price of public utility and p 2 is the average
price of all the other goods.
①Assume p1  100 , p 2  200 , and income X  2000 .
Compute the equilibrium
amount of q1 and q 2 when this consumer maximizes her utility.
②The government is planning the following 3 schemes to increase the tax revenue.
(1) Increase the tax on public utility by 20%. (so p1 would be 120 holding other price
and income unchanged)
(2) Increase the consumer tax on q1 and q 2 by 10%. (so p1 and p 2 would be 110
and 220 respectively, holding income unchanged)
(3) Increase the income tax by 10 % (so income would be 1800 holding prices
unchanged).
Among (1) ∼ (3), which scheme would be the best, in terms of the protection of
consumers? Answer by computing the equivalent variation (EV).
and
10
 0.909 if necessary.
11
Use
5
 0.913
6
市場経済分析特論 中間試験 正解
I.
(1) 制約条件付き費用最小化問題を解く.
L  p1 q1  p 2 q 2   u  4q1q 2  一階条件を取ると,
L
L
 p1  4q 2  0 (1)
 p 2  4q1  0 (2)
u  4q1q 2  0 (3)
q1
q 2
ラグランジュ関数:
(1) と (2) より p1 q1  p 2 q 2 ⇒ q 2 
u
(4) を (3)に代入すると,
p1 q1
p2
(4)
p2u
4 p1q12
⇒ q1  h1  p1 , p 2 , u  
p2
2 p1
(第1財ヒックス型
需要)
同様に, q 2  h2  p1 . p 2 u  
p1u
(第2財ヒックス型需要)
2 p2
ヒックス型需要を予算線に代入すると支出関数がれられる.
p1q1  p 2 q 2  2
p1 p 2 u
2

p1 p 2 u  C  p1 , p 2 , u  (支出関数)
C
 0 i  1,2  (つまりヒックス型需要だか
pi
支出関数は凹型関数であることを示せ ⇔
ら正であるのは明らか)
一階条件を取ると
 2 C hi

 0 i  1, 2
pi2 pi
p2u
hi

0
pi
4 p1 p1
ヒックス型需要の自己価格について
従って支出関数は凹型である. (Q.E.D)
支 出 関 数 は 価 格 に 関 し 1 次 同 次 で あ る こ と を 示 せ :


C tp1* , tp 2* , u  t 2 p1* p 2*u  t p1* p 2*u  tC
(Q.E.D)
X2
(2) 支出関数より間接効用関数を求めると: V  p1 , p 2 , X  
p1 p 2
X2
V
 2
p
p1 p 2
X
ロワの恒等式より, q1   1  

V
2X
2 p1
X
p1 p 2
同様に q 2 
X
2q 2
(3) 第2財価格が変化したときの第1財消費の変化をスルツキー方程式で表す.
q1 h1 q1


h2
p 2 p 2 X
ところがマーシャル型需要より
q1
 0 なので,2つの財には総合
p 2
的に見て代替・補完関係はない.⇒Gross independent (indifferent)
q1 h1 q1
u
1

h2 


p 2 p 2 X
2 p1 p 2 2 p1
p1u
0
p2
右辺第1項は正⇒純代替財である.
(4) 第1財価格が変化したときの第1財消費量の変化をスルツキー方程式で表す.
q1 h1 q1


h1
p1 p1 X
p2u
q1 h1 q1
1

h1  


p1 p1 X
2 p1 p1 2 p1
p2u
p1

p2u
p1 p1
0
⇒第1財は正常財である.
(5)
 h1

p
スルツキー行列は S   1
 h2
 p
 1

p2u

 2 p1 p1
従って Sp  
u

 2 p p
1 2

h1
p 2
 h2
p 2








2 p1 p 2  p1   0 
    
p1u  p 2   0 

2 p 2 p 2 
u
Ⅱ① 加重限界代替率均等の法則により
Q.E.D.
u q1 u q 2

p1
p2
い ま u  4q1 q 2 な の で
u q1 u q 2
4q
4q

 2  1
p1
p2
p1
p2
p1  100 , p 2  200 を 代 入 す る と
400q 2  2000  q 2  5 , q1  10 .
X2
② 問Ⅰより V 
p1 p 2
2q 2  q1
これを予算線に代入すると
EV を求めるために以下の恒等式をとく.
X
 EV
before before
p1
p2
before

2

X 
after 2
p1after p 2after
第(1)案:公共料金 20%引き上げ.
2000  EV 2
100  200

20002
120  200
⇒EV=−174 消費者余剰の減少は 174
第(2)案:消費税 10%.
2000  EV 2
100  200

20002
110  220
⇒EV=−182
第(3)案:所得税 10%引き上げ.
2000  EV 2
100  200

18002
100  200
⇒EV=−200
つまり,第(1)案が消費者への負担が最も少ない.CV の場合どうなるか?
Answers for Midterm Exams (May 30, 2008)
I.
Hideki MURAKAMI
(1) You can start with either of the dual problem, but probably it is easy starting
cost minimization problem.
L  p1 q1  p 2 q 2   u  4q1q 2  and take F.O.C.
L
 p 2  4q1  0 (2)
u  4q1q 2  0 (3)
q 2
Our Lagrangean function is:
L
 p1  4q 2  0
q1
(1)
From (1) and (2) we obtain p1 q1  p 2 q 2 ⇒ q 2 
Substitute (4) into (3).
u
p1 q1
p2
(4)
p2u
4 p1q12
⇒ q1  h1  p1 , p 2 , u  
p2
2 p1
(Hicksian demand
for good 1)
By symmetry, q 2  h2  p1 . p 2 u  
Adding
p1q1  p 2 q 2  2
up
p1 p 2 u
2
p1u
(Hicksian demand for good 2)
2 p2
makes
expenditure
function,
p1 p 2 u  C  p1 , p 2 , u  (Expenditure function)

C
 0 i  1,2  (Hicksian demand, already obtained) and
pi
Show concavity in price ⇔
 2 C hi

 0 i  1, 2
pi2 pi
Since
p2u
hi

 0 , expenditure function is
pi
4 p1 p1
concave. (Q.E.D)


Show H.O.D=1 in prices: C tp1 , tp 2 , u 
*
*
t 2 p1* p 2*u  t p1* p 2*u  tC
(Q.E.D)
(2) To derive Marshallian demand, we derive indirect utility by inverting the
expenditure function, and then use the Roy’s identity.
X2
Indirect Utility: V  p1 , p 2 , X  
p1 p 2
X2
V
 2
p
p1 p 2
X
By Roy’s identity, q1   1  

V
2X
2 p1
X
p1 p 2
By symmetry, q 2 
X
2q 2
(3) Slutsky equation of good 1 when price of good 2 changes is:
q1 h1 q1


h2
p 2 p 2 X
But it is apparent from Marshallian demand that
q1
 0.
p 2
⇒Gross independent (indifferent)
q1 h1 q1
u
1

h2 


p 2 p 2 X
2 p1 p 2 2 p1
p1u
p2
0
Since the first term of right hand side
is positive, good 1 and good 2 are net substitute.
(4) Slutsky equation of good 1 when price of good 1 changes is:
q1 h1 q1


h1
p1 p1 X
(It is apparent from Marshallian demand that
p2u
q1 h1 q1
1

h1  


p1 p1 X
2 p1 p1 2 p1
p2u
p1

p2u
p1 p1
q1
 0 ).
p1
0
⇒Good 1 is normal.
(5)
 h1

p
Slutsky Matrix is S   1
 h2
 p
 1
h1
p 2
 h2
p 2

p2u

 2 p1 p1
Therefore, Sp  
u

 2 p p
1 2



2 p1 p 2  p1   0 
    
p1u  p 2   0 

2 p 2 p 2 
Ⅱ① Recall






u
Q.E.D.
u q1 u q 2

i.e., Marginal Utility of goods weighted by own price is
p1
p2
always the same for all goods. u  4q1 q 2 so
u q1 u q 2
4q
4q

 2  1
p1
p2
p1
p2
Now p1  100 , p 2  200 so we obtain 2q 2  q1
constraint, 400q 2  2000  q 2  5 , q1  10 .
X2
② From Question I, the indirect utility is V 
p1 p 2
Substituting this into budget
To derive the equivalent variation, we solve the following identity.
X
 EV
before before
p1
p2
before

2

X 
after 2
p1after p 2after
Scheme (1) is to raise the price of good 1 by 20%.
2000  EV 2
100  200

20002
120  200
⇒EV=−174 (this means the loss of consumer’s surplus by
implementing scheme (1) is 174)
Scheme (2) is to raise the price of both goods by 10%.
2000  EV 2
100  200

20002
110  220
⇒EV=−182
Scheme (2) is to raise the income tax by 10%.
2000  EV 2
100  200

18002
100  200
⇒EV=−200
Therefore, the scheme (1) is the best to protect the consumers.