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IL PROBLEMA DELL’ INTERAZIONE FLUIDO-STRUTTURA NELLA MODELLAZIONE DEL COMPORTAMENTO DINÁMICO DELLE DIGHE
Michele Fanelli1, Pasquale Palumbo2
SOMMARIO: II problema in oggetto può essere formulato, come ben noto, a diversi
livelli di complessità (e di “completezza” per quanto attiene alia rappresentatività física
dei modelli proposti). Ciò è attestato dai numerosissimi contributi in proposito, a partire
dal classico approccio “alla Westergaard” (v. concetto di “masse aggiunte”,
Westergaard,1993) con fondo del serbatoio rígido (approccio nel quale, al livello più
elementare, si assume anche I’ ipotesi di rigidità della struttura e di incomprimibilità del
fluido), per arrivare alle formulazioni più recenti in cui si tiene conto, separatamente [8]
o congiuntamente, della deformabilità della struttura, della comprimibilità del fluido e
della deformabilità del fondo del serbatoio; formulazioni nelle quali in genere il concetto
di “masse aggiunte” non è più valido (o va modificato profundamente, ad es. rendendo
tali “masse “ quantità complesse anzichè reali efunzioni della frequenza anzichè
costanti).
Assai spesso interessa in primo luogo identificare i modi naturali (smorzati o no) di
vibrazione della diga, considerata come un sistema elástico lineare, ed in tal caso il
problema è direttamente formulato in termini di oscillazioni armoniche (eventualmente
con smorzamento: moto “pseudo-armonico”); la risposta ad eccilazioni non periodiche
in campo lineare viene allora ricoslruita attraverso la nota tecnica dell’analisi modale.
INTRODUZIONE
Nel presente lavoro, pur se ancora ristretto al
comportamento lineare, si segue un approccio più
generale. In esso si cerca una espressione delle funzioni
di interazione che sia ancora separabile nello spazio e nel
tempo, ma che valga nel caso generale in cui il moto del
sistema possa essere arbitrariamente complesso nel
tempo (cioè anche non periodico o pseudo-periodico). Si
includono altresì sin dall’inizio gli effetti della
deformabilità della struttura, della comprimibilità del
fluido (che è d’altra parte supposto perfetto, cioè non
viscoso, e dotato di moto a potenziale) ed infine (anche
se in forma alquanto semplificata) della deformabilità
del fondo del serbatoio. Grazie ad una particolare scelta
della forma di rappresentazione analitica della
dipendenza delle pressioni idrodinamiche dai moti dei
punti della struttura (e dalle loro successive derivate
temporali) si evidenzia allora come l’influenza
dell’invaso sia rappresentabile tramite una serie di
matrici di interazione, predeterminabili una volta che
siano note le caratteristiche geometrico-fisiche del
sistema. L’approccio proposto ha il vantaggio di
estendere in modo “naturale” il concetto di “masse
aggiunte” e di evidenziare il ruolo di parametri adimensionali [primo tra tutti, nel caso di moti armonici di frew·H
quenza ω/2π, il rapporto G = c ,legato alla profondia
tà dell’invaso (H) ed alla comprimibilità del fluido
(tramite la celerità ca)], dei quali è nota, dagli
studi precedenti (Fork e Chopra, 1986), l’influenza sulla
de-terminazione dei modi propri nel caso di moti
armonici o pseudo-armonici [tra gli altri parametri
influenti evidenziati dall’analisi vi è poi ad es. il rapporto
tra le impedenze acustiche del fluido d’invaso e della roccia del fondo].
La presa in conto dei successivi termini nella serie (teoricamente infinita) di matrici di interazione corrisponde
all’adozione di un procedimento di successive approssimazioni. In tale ottica la matrice delle masse aggiunte
“alla Westergaard” e la matrice di smorzamento già
introdotta dagli Autori in una precedente Nota (Fanelli
et al., 1995) appaiono in prima approssimazione come i
primi due termini del procedimento suddetto.
Infíne l’approccio proposto fa emergere, oltre alla
possibilità teorica di “modi propri aperiodici” (forse inter-
1
Ex Direttore del Centro Ricerca Idraulica e Strutturale (CRIS) dett’ ENEL SpA - V. L.B. Alberti, 5 - 20149 Milano email:
[email protected]í. it
1
ISMES SpA- V. Pastrengo, 9 - Seriate (Bergamo) email: [email protected]
Artículo publicado en Ingeniería del Agua Vol.5 Num.2 (junio 1998), páginas 43-54, recibido el 20 de enero de 1998 y
aceptado para su publicación el 25 de marzo de 1998. Pueden ser remitidas discusiones sobre el artículo hasta seis meses
después de la publicación del mismo. En el caso de ser aceptadas, las discusiones serán publicadas conjuntamente con la
respuesta de los autores en el primer número de la revista que aparezca una vez transcurrido el plazo indicado.
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COMPORTAMIENTO
DINÁMICO DE PRESAS
pretabili físicamente come collegabili aparticolari
subsidenze o sollevamenti del fondo del serbatoio, e
perciò denominati provviseriamente “bottom subsidence
modes” o, rispettivamente, “bottom heaving modes”, v.
§ 2), una curiosa modifica dell’ ordine differenziale delle
equazioni del moto, legata probabilmente all’influenza intuitivamente plausibile - della “storia” passata del
moto della struttura sull’andamento nel tempo delle
pressioni idrodinamiche (si ricordi che il fluido è
supposto perfetto, cioè senza viscosità, e che quindi la
“memoria” di un moto preesistente non si dissipa nel
tempo).
L’esistenza dell’invaso introdurrebbe, in quest’ottica, un
aspetto “ereditario” della risposta del sistema che, a
parere degli Autori, riveste interesse se non altro teorico.
1.
FORMULAZIONE
DEL
PROBLEMA
IDRODlNAMICO
Si faccia riferimento alio schema di Figura la, ove è da
notare che il liquido copre, presso la diga, una profondità
H (“paramento bagnato”) che può coincidere o meno con
l’altezza della diga stessa sul piano di fondazione.
Assumiamo che il fluido (comprimibile, con densità
media Pa) sia perfetto (cioè non viscoso) e che il suo
moto nel serbatoio, definito Eulerianamente da un
campo di veloeità V(x,y,z,t), sia irrotazionale:
rotV = 0, ossia si abbia V = H · gradϕ
(1.1)
ove ϕ = ϕ(x,y,z,t) è il potenziale del moto a meno della
lunghezza H (v.oltre).
II moto può avere origine autonoma (vento, sisma...) e/o
essere prodotto dall’interazione fluido-struttura durante
il moto di quest’ultima, tramite l’accoppiamento tra il
moto dei punti della diga giacenti sul paramento bagnato
e il moto delle particelle fluide a contatto del paramento
stesso (accoppiamento che, per l’ipotesi fatta di liquido
inviscido, si esprime, v. più oltre, nella condizione di
continuità, sulla superficie bagnata, delle componenti
normali al paramento delle veloeità dei punti materiali
appartenenti alia diga ed all’invaso).
L’ipotesi di linearità consente di trattare separatamente
la componente autonoma del moto del liquido; nel
presente lavoro il potenziale è univocamente determinalo
dal moto dei punti della diga appartenenti al paramento
bagnato (considerato per il momento come noto,
nonostante esso, come verrà esplicilalo più lardi, dipenda
in realtà anche dalle pressioni idrodinamiche di
inlerazione). Viene allora naturale di legare il potenziale
ϕ alle veloeità, accelerazioni ed evenlualmente derivate
di ordine superiore degli sposlamenti normali δn(x,y,z,t)
dei punti della diga appartenenti al paramento bagnato:
solo le derivate prime: Φ = Φ [δn(x,y,z)]- Ma è intuitivo
ammettere che per moti qualsivoglia debbano essere
coinvolte anche le derivate di ordine superiore. Infatti,
considerando
due
sistemi
diga/serbatoio/invaso
geometricamente e físicamente identici e dotati, ad un
certo istante, dello stesso stato di moto δn per quanto
riguarda le veloeità, ma di diverse distribuzioni δn per
quanto riguarda le accelerazioni del paramento bagnato,
i potenziali ϕ non potranno evidentemente essere gli
stessi nei due casi. Eslendendo il ragionamento si deduce
che devono, in linea di principio, essere coinvolte tutte le
derivate di ordine indefinitamente crescente.
Poichè la trattazione ingegneristica del problema si
baserà necessariamente su metodi di discretizzazione,
supponiamo inoltre che il moto del paramento bagnato
sia descritto con sufficiente approssimazione [tramite
opportune funzioni interpolanti, o “funzioni di forma”
Nj(x, y, z)] dalle storie temporali δj(t) degli spostamenti
normali (omettiamo il pedice n per brevità) di un numero
finito di punti (nodi della mesh della diga) Pj del
paramento bagnato, (Si suppone che i nodi Pj della
discretizzazione strutturale coincida.no, sul paramento,
con nodi appartenenti alla mesh che copre il dominio
occupato dal fluido, v.oltre). I δ(t) siano dotati di
derivate successive sino all’ordine che riterremo
necessario (qui si introduce implicitamente l’ipotesi di
conlinuilà delle funzioni-spostamento con tutte le loro
derivate temporali). Con questa discretizzazione della
definizione del moto del paramento il funzionale Φ viene
approssimato da una funzione ordinaria ϕ (ancorchè di
molte variabili δj, δj, δj funzioni a loro volta del tempo):
Figura 1a. Spazio fisico
ϕ (x, y, z, t) = Φ[δn(x,y,z,t), δn(x,y,z,t), δn(x,y,z,t)....],
ove Φ indica un opportuno funzionale degli argomenti
entro parentesi, ed i punti sovrapposti ai simboli
denotano derivazione (dell’ordine indicato dal numero
dei punti) rispetlo al lempo t.
Normalmente, invero, (ed in particolare nel caso di moti
armonici a regime, cioè esclusi eventuali transitori
iniziali) si assume che la dipendenza suddetta coinvolga
Figura 1b. Spazio ridotto Ωj
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COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PKESAS
[
]
...
..
.
Φ δn(x,y,z,t), δn(x,y,z,t), δn(x,y,z,t),... ≅
[
.
..
]
...
∇ 2ϕ =
≅ ϕ δ j (t ), δ j (t ), δ j ( t ),...
Per ragioni che risulteranno chiare dagli sviluppi successivi (e che sonó state inizialmente suggerite dall’estensione dei concetti-guida dei lavori precedenti sul caso
armónico) postuliamo una separabilitá spazio/tempo
della dipendenza cércala nella forma seguente:
ϕ = ϕo + ϕ e , ove
ϕo =
∑
.


 ϕ1 j ( x, y, z ) ⋅ δ j (t ) +  H
c
j 
 a
2

...

ϕ 3 j ( x, y, z ) ⋅ δ j (t ) + ...




ϕe=–
∑
ca =
....
ε
= celeritá del suono
ρa
La netta distinzione tra i due potenziali (φo e φe é
motivata dal fatto che il primo produce effetti inerziali,
mentre il secondo produce effetti dissipativi.
Le funzioni spaziali φ kj (che un’ispezione delle
equazioni mostra essere adimensionali), con k=pari o k=
dispari, verranno determínate dal dover soddisfare il
potenziale (1.2), nel dominio occupato dal ñuido,
all’equazione differenziale alie derivate parziali di tipo
Poisson per un moto a potenziale di fluido comprimibile,
con le opportune condizioni ai limiti del dominio, come
vedremo fra breve.
Con riferimento alia Figura Ib si consideri il dominio
adimensionale Ωf ricavato dal dominio físico occupato
dal liquido (Figura la) mediante divisione di tutte le
lunghezze per la lunghezza H(“spazio ridotto”). In
questo spazio adimensionale le coordínate siano indícate
da
ove il fatto che sia 1/ca≠ 0 riflette la comprimibilitá del
liquido. Ovviamente nella (1.5) il simbolo ∇2 sta per
l’operatore di Laplace:
∇2 =
∂2
∂x
2
∂2
+
∂y
2
+
∂2
∂z 2
l’operatore
nel liquido ε=comprimibilitá del liquido ; si ricorda che
per l’acqua ca = 1440 ms-1).
x
y
z
ξ = ;η = ;ζ = ;
H
H
H
(1.5)
(1.3),
(1.4),
funzione delle derivate pari degli spostamenti (pedice e
da “even”).
Nelleequazioni precedenti
ca
..
⋅ϕ
Passando alio “spazio ridotto” indichiamo con ∇2 = H2·∇2

H
  ·ϕ 4 j (x, y, z) ⋅δ j (t) + ....
c 

 a

3
2
(1.2)
funzione delle derívate dispari degli spostamenti (pedice o da “odd”); e

..
H
ϕ2j (x,y,z)·δ j (t) +
·

j  ca

1
la superficie libera a riposo
(orizzontale) del liquido, caratterizzata dalla condizione
geométrica ζ = 0, sia indicata con So; la superficie
bagnata del paramento (sulla quale giacciono i nodi Pj.)
sia indicata con Su, e la relativa nórmale (esterna rispetto
al dominio fluido), variabile in genérale da punto a
punto, con Vu; infine la superficie bagnata del fondo del
serbatoio si indichi con Sb, e la relativa nórmale
(anch’essa esterna rispetto al dominio fluido ed in
genérale variabile da punto a punto) con Vb.
L’ equazione differenziale indefinita alie derivate
parziali cui il potenziale φ deve soddisfare nel dominio
físico (Figura la) é evidentemente, sotto le ipotesi qui
accettate, la classica equazione di Helmholtz (valida per
piccole ampiezze e piccole velocitá del moto):
∇ 2f =
∂2
∂x 2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
Con queste posizioni la
(1.5) fornisce la:
∑
2

..
...
.
∇ 2 ϕ ⋅ δ − H · ∇ 2 ϕ · δ +  H  ⋅ ∇ 2 ϕ δ −
j
2j
j
3
j
j
f
f
f


1j

ca
 ca 
j 
H
− 
 ca
3

....

 ⋅ ∇ 2 ϕ 4 jδ j + ... =
f




H
= 
 ca

 .


H
− 
 ca


 ⋅ ϕ 4 jδ j + ...




2
3
∑
[ϕ
j
1j
...
⋅δ j −
..
..  H
H
⋅ ϕ 2 jδ j + 
ca
 ca
2
..
...

 ⋅ϕ δ −

3j j

...
...
(1.6)
Se la (1.6) deve valere per moti comunque arbitran (sia
per quanto attiene alia distribuzione dei δ su Su, sia per
quanto riguarda le loro variazioni temporali), é evidente
dalPispezione della (1.6) stessa che dovranno valere per
le φkj = (ξ,η ζ) le seguenti equazioni differenziali indefinite (I.D.E.):
V2f φ1j=0 e ∇2f φ2j = 0
(1.7)
inoltre (equazioni ricorsive)
∇2f φ3j =φ1j
∇2f φ4j =φ2j
.................
∇2f φ(k+2)j = φkj
:
I.D.E. in Ωf.
Le prime due delle (1.7) sonó le stesse del caso in cui il
fluido si consideri incomprimibile. Nel presente approccio, tuttavia, le condizioni ai limiti porrebbero problemi
numerici qualora si volesse imporre la condizione di
incomprimibilitá del liquido assieme a quella di rigidezza finita del fondo del serbatoio (cioé se il rapporto
ca/cr tendesse all’infinito).
Occorre definiré le condizioni ai limiti (B.C.) per le
funzioni φ kj= (ξ,η,ζ):
a. Per ζ=0 (superficie libera S0) la consueta condizione
linearizzata di variazioni di pressione nulle é espressa
∂φ
= 0, ove p a densitá del lidall’equazione ∆p = –ρ a
∂t
quido; da questa é immediato ricavare la :
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COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PRESAS
.
φ= 0
(1.8)
su S0 conseguentemente, dalla (1.3), sempre tenendo
contó della richiesta arbitrarietá del moto, le B.C.
per le φkj su S0:
φ1j = 0
φ2j =0
φ3j;=0
φ4j = 0
φ5J;=0
φ6j=0
∑
1.13)
: B.C. omogenee su S0
(1.9)
=−
b. Sulla superficie bagnata della diga Su la continuitá
delle componenti normali delle velocitá dei punti
della struttura e del liquido é espressa dall’equazione
∂δ n(t )
∂t
=
∂ϕ
,
∂vu
 ∂ϕij .

 H  ∂ϕ2 j ..
⋅ δ j −   ⋅
⋅δj +


∂
∂
V
c
V
 b

b
 a


..
2
3
..
...
  H  ∂ϕ3 j

H
⋅ δ j −   ⋅ ϕ4 j ⋅ δ j + +...
+   ⋅
∂Vb
c
  ca 

a
 
equindi,
tenendo
contó
della
∑
H
.
c
3


...
...
ϕ · δ −  H  ⋅ ϕ δ +

1
j
j
2
j
j




 ca 


..
....  3
  2

...
H
H
+   ⋅ ϕ ⋅ δ −   ϕ ⋅ δ + ...
3
j
j
4
j
j
c 
  ca 

 a


ove si è posto
discretizzazione, si ricava (v.1.3, 1.4):
∑
.
j N j (ξ, n, ζ ) ⋅ δ j =
∑
 ∂ϕ2 j .
H
⋅ δ j − 

∂
V
 ca
 u
 ∂ϕ2 j ..
⋅
 ∂v δ j +
u

(1.10 )
H
+ 
 ca




2
..
..

∂ϕ3 j
 H  ∂ϕ4 j
⋅
⋅ δ j −   ⋅
⋅ δ j + ... 

∂vu
∂Vu
 ca 

...
3
Análogamente a quanto visto per le altre B.C.,
dall’ispezione della (1.13) si evince che, affinché la (/.
13) stessa sia soddisfatta per ogni arbitrario moto della
diga, é necessario imporre alie funzioni φkj le seguenti
B.C. su Sb:
∂ϕ1 j
∂ν b
da cui infine, sempre per l’arbitrarietá del moto dei punti
Pj, le B.C. su S u:
∂ϕ1 j
∂ν u
∂ϕ2 j
∂ν u
∂ϕ3 j
∂ν u
∂ϕ4 j
∂ν u
∂ϕ3 j
∂ν b
∂ϕ5 j
∂ν b
= N j (ξ, η, ζ )
ρ ⋅c
c= r r ⋅
ρa
∂ϕ2 j
=0
∂ν b
=
ca
⋅ ϕ2 j
c
=
ca
⋅ ϕ4 j
c
.......................
∂ϕ4 j
∂ν b
∂ϕ6 j
∂ν b
=
ca
⋅ ϕ1 j
c
=
ca
⋅ ϕ3 j
c
=
ca
⋅ ϕ5 j
c
........................
(1.14)
=0
=0
: B.C. su Su
(1.11)
=0
.............
c. Infine sul fondo del serbatoio ( superficie bagnata Sb)
assumiamo una condizione di irraggiamento acústico
(tipo Sommerfeld) semplificata nella forma seguente:
∂ϕ
− ρ a ⋅ H ⋅ ϕ = ρ r ⋅ cr ⋅ H ⋅
∂ ( H ·νb)
.
(1.12)
dove il primo membro esprime le variazioni locali di
pressione nel fluido, il secondo membro esprime in
forma approssimata (onde acustiche di tipo P localmente
piane, senza interazioni di scorrimento tra le “colonne”
adiacenti, negli strati rocciosi di fondo; v. Fanelli et al.,
1995) le variazioni locali di pressione dovute alia
propagazione senza rifiessione delle onde elastiche negli
strati rocciosi (prdensitá della roccia,
cr ≅
Er
=
ρr
celeritá
di propagazione delle onde P nella roccia di modulo
elástico E). Tenendo contó delle (1.3), (1.4) tale
condizione si svilu-ppa come segue, invertendo l’ordine
dei due membri della (1.12):
Anche queste B.C., come le equazioni differenziali
indefinite (1.7), sono di tipo ricorsivo; mentre pero le
(1.7) legano ricorsivamente tra loro le successive
funzioni di pedice pari e, separatamente, tra loro quelle
di pedice dispari, le (1.14) legano ricorsivamente le
funzioni di pedice pari a quelle di pedice dispari, e
viceversa.
Si noti che
I=
c a ρa ⋅ c a
=
=
ρr ⋅ c r
c
rapporto delle impedenze
acustiche del liquido e della roccia. Normalmente tale
rapporto è sensibilmente minore dell’unità; ciò comporta
che le funzioni φkj decrescano rapidamente al crescere
del pedice k.
Si noti altresi che, date le deboli pendenze
frequentemente presenti sul fondo del serbatoio, è spesso
lecito confundere la direzione della normale νb con
quella dell’asse ζ.
Le equazioni differenziali indefinite (1.7) valide in Ωf ,
assieme alie B.C. (1.9) su S0, (1.11) su Su, (1.14) su Sb
permettono di determinare numericamente in ogni caso
specifico le funzioni di pedice dispari φoj. e quelle di
pedice pari φej.
Ad es. si potranno usare a tale scopo metodi di discretizzazione agli E.F.: le equazioni matriciali
[T] · {ϕi}oj = {tn}oj
[T] · {ϕi}ej = {tn}ej
p. 54 Vol. 5 • N° 2 • junio 1998
: B.C. su S b
COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PRESAS
forniranno i valori delle funzioni in questione nei nodi
“i” della mesh coprente il dominio Ω . Nelle (1.15) la
matrice [T] è la matrice di pseudo-trasmissività che
origina dalla discretizzazione in Ωf dell’operatore di
Laplace ∇2f i vettori {tn}ef , {tn}ej derivano dalla
discretizzazione dei termini sorgente nelle (1.7) e delle
B.C. (1.9), (1.11), (1.14). Data la natura ricorsiva , già
sopra evidenziata, delle (1.7) e delle (1.14), il set di
equazioni matriciali (7.75) è a sua volta un set ricorsivo,
che può essere risolto in ogni caso particolare (e per ogni
valore del pedice “j”) seguendo lo schema di Figura 2
(v.oltre, §3).
Nel seguito si suppone che tale set sia stato risolto e che
da tali soluzioni siano state costruite, per ogni valore del
pedice dispari “o” e per ogni valore del pedice pari “e”,
le matrici [φij]0 [φij]1, ognuna con tante righe (pedice “i”)
quanti sono i nodi della mesh coprente Ωf e con tante
colonne (pedice “j’) quanti sonó i nodi Pj. su Su. Dalla
conoscenza dei valori suddetti si può ricostruire
agevolmente, nell’ambito delle approssimazioni falte,
1’andamento delle sovrapressioni idrodinamiche in funzione degli spostamenti dei nodi del paramento bagnato
e delle loro derívate temporali successive:
∆p = − ρa . H ⋅
+
∑
∂ϕ
= ρa . H ⋅
∂t
..  H
H
⋅ ϕ2 . δ j − 
j
ca
 ca
..

 ϕ1 j δ j +

2
..

..

 ⋅ ϕ ⋅ δ j + ...
3j




(1.16 )
sovrapressioni di cui interesseranno nel seguito i valori
nei nodi del paramento bagnato Su .
Da questi infatti, interpolad su tutta la superficie bagnata della diga tramite le funzioni di forma Nf (x, y, z), si
potrà ricavare la distribuzione delle pressioni
idrodinamiche prodotte per interazione con l’invaso, sul
paramento di monte, dal movimento della struttura. Con
ciò risulta costruibile la soluzione (che è unica) del
problema físico-matemático propostoci all’inizio; resta
da ve-dere in dettaglio, nel seguito, a quale tipo di
formulazione numérica conduca l’approccio qui scelto (e
quali ne siano i vantaggi e gli svantaggi).
Si noti sin d’ora che i termini a pedice dispari e pari
entro parentesi sotto il segno di sommatoria nella (1.16)
corrispondono rispettivamente: ad un effetto tipo “masse
aggiunte” alia Westergaard (termini contenenti φ 1j , φ3j...)
e ad un effetto tipo “bottom damping” analogo a quello
ricavato in Fanelli et al., 1995 (termini contenenti φ2f
φ4j....).
2. FORMULAZIONE NUMERICA DEL PROBLEMA
STRUTTURALE CON INTERAZIONE STRUTTURA-INVASO
Le forze nodali {Fh} corrispondenti ai termini sopra visti
di sovrapressioni da reazione idrodinamica del liquido
contenuto nel serbatoio ai movimenti della diga si
ricavano per integrazione pesala di superficie della
(1.16) con pesi pari, per ogni nodo “j” di Su, alla
rispetliva funzione di forma N (ξ, η, ζ); sarà perianto:
{Fh } = −ρa·H 3· [cos(vuj a)]⋅ ([m1 ] ⋅ {δ} +
..
(2.1)
+
...  H
H
⋅ [ m2 ] ⋅ {δ }+ 
ca
 ca
....


 ⋅ [m3 ] ⋅ {δ} + ...




2
dove gli elementi delle matrici adimensionali [m1]
[m2],[m3]...derivano dall’integrazione sopra richiamata (
sopra Su nello “spazio ridotto” di Figura Ib)
rispettivamente delle funzioni φ1j , φ2j , φ3j ,...:
∫ S{N }⋅ {N }T ⋅ [ϕ1 j ]T ⋅ dSu
[m1 ] =
u
(e simili, a parte il segno - per k pari), ove la riga i-esima
della matrice [φij] (e simili) contiene (nelle successive
colonne) i potenziali nodali (nei nodi successivi di Su)
corrispondenti alla soluzione φij (e simili) del set di
equazioni matriciali viste nel §1 con pedice j=1; infine
la matrice [cos(vif a)] contiene , a gruppi diagonali di 3
righe per una colonna, i coseni direttori delle normal i ad
Sa nei successivi nodi, rispetto agli assi coordinali a.
II vellore a 1° membro, e le matrici a IIo membro, nella
(2.1), il cui ordine é rispettivamente quello dei gradi di
libertà dei nodi di Sa e del numero dei nodi di Sx,
possono poi essere portati formalmente all’ordine dei
gradi di liberta del set completo di nodi della mesh
strutturale della diga mediante postmoltiplicazione delle
matrici per [cos(vif a)]T (come è facile rendersi conto,
quest’ultima operazione ha lo scopo di ottenere le
componenti normali ad Su degli spostamenti dei punti Pf
che sonó que-lle che figurano nella (2.1), dal vettore
completo che ne include tulle le componenti Cartesiane)
e successiva aggiunla sia al vellore che alle matrici di
termini nulli in oportuna posizione. Intenderemo d’ora
innanzi che tali operazioni (come pure la
premoltiplicazione per [COS(VU.)] che figura nella 2.1)
siano inglobate nei simboli del vellore e delle matrici
[mk] anzidette (matrici di interazione, adimensionali,
dipendenti solo dalla forma e dalle caratteristiche fisiche
del sistema invaso-serbatoio), senza variare, per
semplicità, la scritturà simbolica delle matrici e dei
vettori.
Con queste avvertenze, siamo in grado di scrivere
formalmente l’equazione matriciale di equilibrio
dinámico della struttura nella formulazione ad E.F.:
.
..
[K ] ⋅ {δ} + [C ] ⋅ {δ} + [M ]{δ} = {Fe } + {Fh } =

...  H
.. H

= {Fext } − ρa.H 3 .  [m1 ] ⋅ {δ} +
⋅ [m2 ]⋅ {δ} + 
c

a
 ca

..
2

..

 ⋅ [m3 ] ⋅ {δ} + ...




dove {F ea} = {F ea (t)} è il vettore delle forze nodali
esterne, eventualmente nulle (vibrazioni libere, caso che
trattiamo nel seguito), e in base a quanto visto sopra {δ}
= { δ (t)} è ora il vettore di tutte le componenti degli
spostamenti nodali di tutti i nodi della mesh strutturale.
L’ispezione visiva della (2.2) evidenzia una curiosa
caratteristica. L’ordine differenziale del problema, che
normalmente si considera essere 2, appare nel presente
Vol. 5 • N° 2 • junio 1998 p.55
COMPORTAMIENTO
DINÁMICO DE PRESAS
approccio tanto elevato quanto lo è il massimo ordine
(D) delle derivate temporali non nulle (o almeno di tutte
quelle considerate nella modellazione dell’interazione
struttura-invaso) degli spostamenti.
Naturalmente, in modo perfettamente corrispondente
saranno ora necessarie, a definire il problema delle vibrazioni libere non ristrette al caso periodico o pseudoperiodico, condizioni iniziali riguardanti non solo
posizioni e velocitá dei nodi, ma anche le derivate successive degli spostamenti sino all’ordine D-l.
II significato físico di ciò non è immediatamente
apparente. Gli Autori congetturano che questo peculiare
as-petto sia la conseguenza analítica dell’avere
considerato un liquido perfetto, che conserva
indefinitamente “memoria” di tutti gli stati precedenti (di
contro, quando si restringa l’indagine ai soli modi
periodici o pseudope-riodici si fa implicitamente
l’ipotesi che ogni componente del moto di diverso tipo,
eventualmente preesistente, sia stata completamente
smorzata dai meccanismi dissipativi).
Evidentemente infatti la conoscenza di tutte le derivate
consente, nell’ipotesi di continuità implicitamente
ammessa, di ricostruire (con sviluppo in serie temporale
di Taylor) lo stato di moto dell’invaso nel passato, che in
genere influirà sul moto susseguente della struttura
(effetti “ereditari”), in quanto in grado di condizionare la
distribuzione delle sovrapressioni idrodinamiche.
Vediamo ora come il presente approccio possa includere
la determinazione dei “modi propri”.
Questi sonó definiti ponendo: {δ(t)} = {∆}-eat, con σ (e
conseguentemente {∆}) in genere complessi, e ricercando quei valori σ1 σ2 (autovalori) e corrispondenti
vettori {∆1}, {∆2},...(autovettori) che soddisfano alia
(2.2).
Sostituendo (δ(t)} = {∆}-eσt nella (2.2) con {Fext }= {0} si
ottiene con semplici manipolazioni l’equazione agli
autovalori/autovettori:
(
)
2


3
 [K ] + σ ⋅ [c ] + σ .. [M ] + ρa ⋅ H. [M *]  ⋅ {∆} = {0} (2.3)


dove:
[M *] = [M odd ] + [M even ] con gli sviluppi in serie (a segni
alterni per
σ = i ⋅ ω) :
[M ]= [m ] +  σc⋅ H 
odd
1
2
a
(σ = i.ω → matrice
⋅ [m3 ] + .....
di masse aggiunte),
[M ]= σc⋅ H ⋅ [[m ] +  σc⋅ H 
even
a
Per
2
dimensioni
adimensionale
σ⋅H
ca
2
a
medie

⋅ [m4 ] + ....


della
diga,
il
gruppo
é dell’ordine alpiù dell’ unità per
iprimi autovalori, e gli elementi della matrice [m ] sonó
(nel caso tridimensionale e per 1< 1) di circa due ordini
di grandezza inferioria quelli di [m1]. Se tale andamento
decrescente si mantiene passando da ogni matrice di
interazione alla successiva, è possibile fermarsi ad un
ordine di derivazione abbastanza basso senza commetp.56 Vol. 5 • N° 2 • junio 1998
tere gravi errori, almeno per quegli autovalori per cui il
gruppo adimensionale ora citato è inferiore a 1.
Ad esempio, se si trascurano tutti i termini contenenti
matrici [mk] con k> 2, ci si ritrova con una classica
matrice di masse aggiunte ([m1;]) ed una matrice di
“bottom damping” ([m2]); quest’ultima risulta diversa
dalla matrice nulla solo se il fondo non è rigido, ossia se
1 ≠ 0.
La struttura di [M*] esplicitata nelle (2.3) evidenzia la
dipendenza degli effetti di interazione dalla frequenza (=
ω/2n, con i-ω) = parte immaginaria di σ) nel caso di
comprimibilitá finita del liquido (I/cu ≠ 0 ), e più
precisamente il ruolo del parámetro adimensionale
G=
σ.H
ca
(G ≅
i.ω.H
ca
per piccoli smorzamenti).
E’ evidente altresì , data la presenza, nei rispettivi
termini, di potenze di diversa parità del gruppo G, che
[M°d] rappresenta effetti inerziali dell’interazione con
l’invaso, mentre [Mere] ne rappresenta gli effetti
dissipativi.
II mutato carattere della (2.2) rispetto a quello delle
tratta-zioni “classiche” porta a non escludere in linea di
principio la possibilità che, accanto agli autovalori
complessi poco differenti da quelli usuali, possano
rinvenirsi in casi particolari anche autovalori reali,
corrispondenti a moti aperiodici decrescenti (per
smaltimento dell’energía cinetica immagazzinata nel
sistema attraverso radiazione acustica dal fondo del
serbatoio) nel tempo.
Questi modi, evidentemente di scarso interesse pratico,
possono pensarsi físicamente associati a “subsidenze”
del fondo del serbatoio che avvengano con costanti di
tempo
(autovalori
reali)
coerenti
con
la
dinamica/idrodinamica
del
sistema
struttura/invaso/serbatoio.
Tali modi, ove esistano, potrebbero essere denominati
“bottom subsidence modes”.
Qualora nella B.C. (1 12) su Sb (e nelle BC. (I.14) per le
funzioni φ che ne derivano) si cambi sistemáticamente il
segno di uno dei membri in tutte le rispettive equazio-ni,
si verrebbe con ciò a considerare un input energético
dall’infinito (verso il basso) al fondo del serbatoio, da
questo all’ invaso e infine, attraverso interazione
idrodinamica, alla diga.
Con le matrici di interazioni calcolate in questo modo, si
verrebbero a determinare autovalori a parte reale positiva
(periodici ed eventualmente anche aperiodici) che
potrebbero avere un significato fisico interessante. Le
loro parti immaginarie (nel caso usuale di autovalori
complessi) potrebbero essere interpretate infatti come
frequenze circolari di onde sismiche P, provenienli da un
ipocentro profondo diretlamenle solloslanle all’invaso, e
di ampiezza esponenzialmente crescente nel lempo, alie
a mellere in risonanza il sistema (e quindi come
frequenze sismiche particularmente pericolose).
Gli eventuali modi aperiodici ad autovalore positivo corrisponderebbero invece a moli, esponenzialmente crescenti
nel lempo, di sollevamenlo del fondo del serbatoio
COMPORTAMIENTO
che avvengano con costanti di lempo coerenti con la
dinamica/idrodinamica del sistema diga/invaso/serbatoio.
Tali modi, ove esistano, potrebbero essere denominati
“bottom heaving modes”.
3. UNO SCHEMA DI PROCEDURA NUMÉRICA CON
RISOLUZIONE
RICORSIVA
DI
EQUAZIONI
MATRICIALI
Con riferimento alio schema di Figura 2, una effettiva
procedura numérica di implementazione dell’approccio sin
qui esposto potrebbe essere agevolmente realizzata
mediante progressiva risoluzione di sistemi lineari in cui i
risultati di un passo del procedimento concatenato alimentano sistemáticamente i passi successivi. Una volta
acquisite le soluzioni (operazione da ripetersi per tutti i
valori del pedice “j” relativo ai punti Pl. del paramento
bagnato), le operazioni di integrazione dellagliate nel § 2
fornirebbero le matrici di interazione [mk] sino all’ordine k
desiderato. Queste ultime permetterebbero infine di
costruire l’equazione matriciale dinámica (2.2) del sistema
discretizzato e la ricerca dei modi propri secondo la (2.3).
Figura 2. Schema soluzioni concaténate. I.D.E.= equazioni
differenziali indefínite; B.C.= condizioni ai limiti. Lo
schema di Figura 2 va eseguito per tutti i pedid “j”
corrispondenti ai punti Pl. del paramento bagnato Su . A
partiré da tutte le soluzioni si potranno costruire le
matrici di interazione. Gli step 1 e 2 corrispondono —
grosso modo —alio schema di interazione con “masse
aggiunte “ e “matrice di smorzamento “
Dalla conoscenza dei valori nodali delle φkj. sui nodi del
paramento bagnato Su, é agevole ricavare le matrici [wj,
[m1], [m2],[m3],..., v. § 2. Gli elementi di tali matrici, come
giá osservato, decrescono rápidamente al crescere del
pedice, se il rapporto delle impedenze acustiche
ρ ⋅c
I= a a
ρ r ⋅ cr
del liquido e della roccia é, come di sólito, sensibilmente
minore di 1; in tal caso il procedimento si puó troncare una
volta determínate le prime 4 o 6 matrici (purché il
rapporto G =
ωmax ⋅ H
ca
, ove
ωmax
= massima frequenza
circulare dei modi che interessano, non sia superiore a 1).
Aspetti realizzativi delicati del procedimento concettuale
qui sviluppato riguardano da un lato la convergenza degli
sviluppi in serie nelle ultime due equazioni di (2.3), specie
DINÁMICO DE PRESAS
per G>1, dall’altra l’impegno, in termini di potenza HW
e durata, dei calcoli numerici.
Circa il primo punto, da quanto sopra i fattori che
governano la convergenza appaiono essere i due appena
citad rapporti adimensionali J e G.
Per quanto attiene al secondo punto, é ragionevole
ritenere che l’approccio in questione non ponga seri
problemi quando la situazione del sistema si lasci
schematizzare
in forma bidimensionale (cioé
essenzialmente per le dighe a gravita; si noti che in tal
caso, per un assegnato andamento geométrico del
paramento della diga e del fondo del serbatoio, nonché
per un assegnato valore del rapporto delle impedenze
acustiche del liquido e della roccia, sonó precostruibili
“funzioni universali” di interazione in base ad una
suddivisione prestabilita, ad es. in intervalli uguali, del
paramento bagnato; v. Appendice). Nelle situazioni
decisamente tridimensionali (es. dighe a volta) la
necessitá di discretizzare il serbatoio appesantisce
notevolmente (ma, riteniamo, non in misura
inaccettabile) gli oneri di calcólo [a meno di far ricorso
al método dei “boundary elements” che richiederebbe
solo la discretizzazione delle superfíci delimitanti il
volume d’invaso; é da considerare pero che la presenza
di termini sorgente “di volume” funzione del posto nelle
I.D.E. (1.7) rende dubbial’applicabilitá del método in
questione].
Resta comunque il fatto che la formulazione qui
proposta, con la netta separazione delle componenti
spaziali e temporali dei termini di interazione, riesce a
metiere in evidenza in maniera didatticamente perspicua
i fattori che influenzano I’accoppiamento fluidoslruttura, nonché a chiarire, anche in termini quantitativi,
la relativa importanza dellle correzioni da apportare alle
approssimazioni piü radical! (fluido incomprimibile,
fondo rigido) via via che si cerca di approssimare piú da
presso la “realtá física”.
4. ESEMPIO ELEMENTARE DI APPLICAZIONE
NUMÉRICA
Nelle Figure 3, 4 e nelle Tabelle 1, 2 sonó riportati
l’andamento ed i valori nodali delle funzioni di
interazione φlj e φ2j/I, determinad come da eq. (1.
7)...(1.14), nel caso piano con paramento della diga
verticale e fondo orizzontale. La discretizzazione del
paramento bagnato é realizzata suddividendolo in 10
intervalli uguali (11 nodi, numerad da 1 a 11 pariendo da
1 sul pelo libero).
Le figure esemplificano la possibilitá (limilatamenle a
k=l e a k=2) di coslruire tali funzioni per via gráfica,
sfrultando le nole proprietá geometriche delle linee φ =
cosí., ψ= cosí, di una funzione φ + i.ψ della variabile
complessa ξ + i.ζ. In particolare, una volla costruita nel
dominio Ω la funzione φlj(J=8 in Figura 3) sfrutlando la
prima delle (1.7), la condizione al contorno dala dalla
prima delle (1.11) su Su, la prima delle (1.9) e la prima
delle (1.14), i valori ottenuti per φlj sul contorno Sb
consentono di conoscere l'andamento quanlilalivo
Vol. 5. N0 2 junió 1998 p. 57
COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PRESAS
della seconda delle B.C. (1.14) lungo esso contorno; la
seconda delle (1.7), la seconda delle (1.9) e la seconda
delle (7.11) consentono allora di tracciare gráficamente
(Figura 4) la mappa della φ 2 j. (sempre per j=8) a meno
del fattore I/I = c/ca’ che potra variare a seconda delle
impedenze acustiche del liquido e della roccia del fondo.
In tal senso, e limitatamente alia geometría del sem-plice
caso bidimensionale in esame, le fimzioni cosi
determínate sonó “universali”.
Le Tabelle 1 e 2 compendiarlo invece i valori numerici
degli elementi delle matrici dei valori nodali [φ1j],
[(φ2/I] calcolati con una discretizzazione ad E.F. del
dominio Ω (v. la forma discretizzata (1.15) delle
equazio-ni(/.7)conleloroB.C.).
Osservare la quasi simmetria delle matrici private della
prima riga e della prima colonna, salvo il fatto che gli
elementi dell’ultima riga sonó pari a circa la meta di
quelli dell’ultima colonna; ció é dovuto alia linearitá del
sistema e alia definizione delle ftmzioni di forma.
Tabella 1. Valori di -φlf (soluz ad E.F.). Caso piano, paramento verticale (I O suddivisioni uguali). Fondo orizzontale
Tabella 2. Valori di φ/I IF (soluz ad E.F.). Caso piano, paramento verticale (10 suddivisioni uguali). Fondo orizzontale
p. 58 Vol. 5 • N° 2 • junio 1998
COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PRESAS
Figura 3. Valori di φ18 (soluz. gráfica). Caso piano,
paramento verticale (10) suddivisioni uguali). Fondo
orizzontale
elimínala riducendosi al dominio adimensionale di
Figura Ib) é per l’appunto il rapporto delle impedenze
acusliche del liquido e della roccia, cioé /.
Soltó tali assunzioni reslriltive per la geometría é possibile una ulteriore scomposizione delle funzioni di inlerazione lale da permellere il precalcolo una volta per
tutte di matrici universali di coefficienli numerici alli a
ricostruire, per ogni particolare valore di /, le funzioni
slesse. Moslreremo ora come ció sia possibile.
Inlenderemo nel seguilo coslruire la soluzione relativa al
nodo genérico/, ossia φk(j) = φkj omellendo il relativo
pedice per semplicilá di scriltura (φk al posto di φkj. =
φk(j)) Inoltre adorteremo la simbologia abbreviala:
L = ∇2f nel dominio Ωf
Op= condizione omogenea sul pelo libero S0
D' =
∂
∂vu
D' ' =
∂
∂νb
su
su
Su
Sb
Coslruiamo le funzioni universali φp;; χ2; χ ja; χ3b; χ 4a; χ
4b’ defmite come segué:
Lχ 2 = 0



 → χ2
D' χ 2 = 0 
D' ' χ 2 = ϕ1 
Lϕ1 = 0 

Op (ϕ1 ) 
 → ϕ1
D' ϕ1 = N 
D' ' ϕ1 = 0 
Figura 4. Valori di l/I-φ28(soluz. gráfica). Caso piano,
paramento verticale (10 suddivisioni uguali). Fondo
orizzontale
Si puó notare (e ció é stato verifícalo per tutti i valori di
j) un soddisfacente accordo tra i valori determinati per
via gráfica (valori letti sul paramento verticale dalle
mappe tracciate gráficamente) e quelli ottenuti
numéricamente tramite l’applicazione del método degli
E.F. E’ da ricordare (v. Fanelli et al., 1995) che le
frequenze ed i coefficienti di smorzamento del primo
modo proprio, calcolati (col método semplificato
¡Ilústralo in Fanelli (1990), Fanelli e Fanelli (1992),
Fanelli et al. (1993) e Fanelli etal. (1994) con queste
matrici in un caso reale per diversi valori delle
profonditá H di invaso, sonó ri-sultati in linea con i
corrispondenti valori sperimentali.
APPENDICE: FUNZIONI “UNIVERSALI” DI INTERAZIONE. INFLUENZA DELL A VISCOSITÁ
DEL FLUIDO. ECCITAZIONE DELL A DIGA
DOVUTAAIMOTIAUTONOMIDEL FONDO
(1) Puó accadere che si voglia, per una data geometría,
parametrizzare le funzioni di interazione prendendo
come variabile indipendente il rapporto /
Tale parametrizzazione appare particularmente cómoda
nel caso schematico piano con paramento verticale (a
suddivisioni uniformi, in numero prefíssato, ad es. 10) e
fondo orizzontale; tale schema geométrico in effetti
costituisce una accettabile prima approssimazione per le
dighe a gravita. La sola grandezza che allora puó variare
da caso a caso (a parte l’altezza H che é giá stata
Op(χ 2 )
sará ;φ2=I·χ2
Lχ 3 a = 0



 → χ 3a
D' χ3a = 0 
D' ' γ 3a = χ 2 
Op (χ3a )
Lχ 4 b = χ 2


Op (χ3b )

 → χ 4b
D' χ3b = 0 
D' ' χ 4b = χ 3b 
sará ;φ2=I2 .χ3a+ χ3b
Lχ 4 a = 0



 → χ4 a
D' χ5a = 0 
D ' ' χ 5 a = χ 4 a 
Op (χ 4 a )
Lχ 4 b = χ 2



 → χ 4b
D' χ4b = 0 
D' ' χ 4b = χ 3b 
Op (χ 4 b )
sará ;φ4= I3· χ4a+ I · χ4b
Costruiamo poscia le funzioni universali χ5a; χ5b; χ5c; χ6a;
χ 6b; χ6c definite come segue:
Lχ 5 a = 0



 → χ5 a
D' χ5a = 0 
D ' ' χ 5 a = χ 4 a 
Op (χ 5 a )
Lχ 5 b = χ 3 a 


 → χ 5b
D ' χ 5b = 0 
D' ' χ 5b = χ 4b 
Op (χ5b )
Lχ 5 c = χ 3 b 


 → χ 5c
D' χ5c = 0 
D' ' χ 5c = 0 
Op (χ5c )
sará ; φ 5 = I4 • χ5a + I2 • χ5b + χ5c
p.59 Vol. 5 • N° 2 • junio 1998
COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PRESAS
Lχ6 a = 0



 → χ6 a
D ' χ6 a = 0 
D' ' χ6 a = χ 5 a 
Op (χ 6 a )
Lχ6 b = χ 4 a 


 → χ6 b
D ' χ6 b = 0 
D' ' χ6 b = χ5b 
Lχ6 c = χ 4 b 

p ( χ6 c )

 → χ6 c
D ' χ6 c = 0 
D' ' χ6 c = χ 5c 
sará ; φ 6=I5·χ6a+ I3·χ6b + I·χ6c
Nel seguito si procederá ricorsivamente, aumentando
pero via via il numero dei termini /”• χpq nell’espressione
di φk (che contiene potenze di I decrescenti di 2 in 2
pariendo da n=k-l) in modo che compaia sempre il
termine con n= 1 per k parí e il termine con = 0 per k
dis-pari; ad es.:
Lχ7 a = 0



 → χ7 a
D' χ7 a = 0 
D' ' χ7 c = χ6 c 
Op (χ 7 a )
Lχ7 c = χ5b 

Op(χ7 c )

 → χ7 c
D' χ7 c = 0 
D' ' χ7 c = χ6 c 
 D + 1
N( D) = int 
 2 
Op (χ 6 b )
Lχ7 b = χ 5 a 


 → χ7 b
D' χ7 b = 0 
D' ' χ7 b = 0 
Op (χ7 b )
Lχ7 d = χ 5c 


 → χ7 d
D ' χ7 d = 0 
D ' ' χ7 d = 0 
Op(χ 7 d )
sarà ; ϕ7 = I 6 ⋅ χ7 a + I 4 ⋅ χ7 b + I 2 ⋅ χ7 c + χ7 d
ecc.
E’ facile verificare che le funzioni φk (j) = φkj cosi
costruite per ogni nodo j del paramento bagnato
soddisfano alie I.D.E. (1.7) ed alie susseguenti B.C. sino
alia (1.14), e quindi sonó le soluzioni del problema di
interazione fluido-struttura proposto.
E’ facile anche mostrare che, se ci si vuole fermare alie
derívate di ordine D negli sviluppi, il numero totale
N(D) di matrici “universali” da calcolare vale:
Numero matrici universali
2
(v. gráfico).
(2) Tra i meccanismi dissipativi presenti nel sistema
físico non é stata sin qui considérala la viscositá del
liquido; in effetti una presa in contó della viscositá
sembrerebbe a prima vista in contrasto con l’ipotesi di
fluido perfetto dotato di moto a potenziale.
Si sa pero che un moto a potenziale costituisce una
soluzione ammissibile delle equazioni complete di
Navier-Stokes (inclusi quindi i termini nascenti dal
tensore non isótropo di sforzi tangenziali e normali
legato alia viscositá, che nel caso di moti a potenziale di
fluido incomprimibile costituirebbero un sistema
ovunque in equilibrio con forze di massa nulle), salvo il
fatto che tale soluzione permette di soddisfare solo una
condizione al contorno presso le pared solide: perció le
componenti tangenziali del moto relativo del fluido
rispetto alia párete non possono generalmente essere
poste uguali a zero, come richiesto dalla condizione
física di aderenza. E’ noto comunque che spesso si puó
ancora ammettere che il moto “al largo” (lontano dalla
párete) sia a potenziale, e che questo si raccordi presso la
párete con un sottile “strato limite” viscoso che permette
di soddisfare la condizione al contorno lócale di velocitá
tangenziali relative nulle.
Se in quest’ottica si volesse introdurre nel nostro
modello la viscositá del fluido senza abbandonare la
cómoda ipotesi del moto a potenziale, accantonando per
il momento (v. App. §3) la pur importante circostanza
della presenza degli strati limite, si giungerebbc, dalle
equazioni di Navier-Stokes per un fluido viscoso
comprimibile (sempre trascurando i termini cinetici delle
variazioni di pressione, cioé nell’ipotesi di piccole
velocitá: formulazione linearizzata), ad una I.D.E. per il
potenziale del tipo seguente:
1  .. 4
2
2.
∇ ϕ=
⋅  ϕ − ⋅ v ⋅ ∇ ϕ
3

ca2 
con v = viscositá cinemática del fluido (dimensioni físiche I2 •t-1) in luogo della (1.7).
Evitando di complicare ulteriormente la formulazione
della soluzione genérale, ci limitiamo ad accennare come
si potrebbe tener contó in modo approssimato del
termine addizionale a secondo membro della I.D.E.
sopra scritta nella ricerca degli autovalori (ed autovettori
rela-tivi) senza cambiare sostanzialmente l’impostazione
sin qui seguita.
Poiché per effettuare questa ricerca occorre supporre φ
(x, y, z, t) = φ (x, y, z).eσ.t risulterá ∆2φ =σ ∆2φ. La I.D.E.
pocanzi scritta porge allora:

4 σ.v   σ
=
∇ 2 φ ⋅  1 + ⋅
3 ca   ca

ordine max. Derívate
P 60 Vol. 5 • N° 2 • junio 1998
ossia
 σ
∇ 2φ = 
 c*
 a
2

 ⋅φ


2

 ⋅φ


COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PRESAS
sostituendo formalmente nella (1.7) alia celeritá reale ca
un valore di “celeritá complessa” ca dato (si ricordi che
σé complessa) da:
(c*a ) 2 = ca2 +
4
⋅σ⋅v
3
Adottando allora in prima approssimazione per ogni
autovalore σ il valore determinato per v = 0 si puó
correggere il valore relativo della celeritá e, con
procedimento iterativo, ottenere autovalori ed autovettori
che includano l’effetto della viscositá (a parte, come
eviden-ziato sopra, l’influenza degli strati limiti presso
lepareti solide), purché sia │σ │ • V <<ca2, condizione
che si puó ritenere senz’altro ampiamente soddisfatta nel
caso delle dighe (per l’acqua v = 1.4-10-5 m2s-1; │a│= ω
é dell’ordine al piú di 102÷ 103,s-1; c2a é dell’ordine di 2!06m2s-2).
(3) Da quanto esposto nel § precedente si vede che
l’influenza della viscositá é certamente trascurabile per
quanto attiene alia propagazione delle perturbazioni
acustiche nella massa del liquido di invaso (a meno che,
per un preesistente moto turbulento di base, non si debba
adottare un valore di “viscositá equivalente” di molti
ordini di grandezza maggiore della viscositá
molecolare). Vogliamo ora sviluppare alcune
considerazioni euristiche sull’ influenza dello strato
limite viscoso sul paramento bagnato (l’influenza
dell’analogo strato limite sul fondo bagnato é piú
diffícile da metiere in contó senza modificare
l’impostazione del presente studio, v.oltre). Per far ció,
stabiliamo idealmente (nel dominio Ωf ), in ogni punto
del paramento Su, oltre al versore nórmale va’, due
versori mutuamente ortogonal! nel piano tangente
localmente alia superficie della diga: siano questi θ¡ e θ2
Le velocitá tangenziali (ad una distanza dal paramento
dell’ordine dello spessore 2λ, dello strato limite a profilo
parabólico, v.oltre, spessore che consideriamo
trascurabile
rispetto
ad
H)
saranno
date
approssimativamente, nelle ipotesi fatte, da:
∂ ( H ⋅ ϕ) ∂ϕ 
=
∂ ( H ⋅ θ) ∂θ1 

∂ϕ

Vθ2 =

∂θ 2
Vθ1 =
(derívate valutate ‘alia párete’),
e le tensioni tangenziali alia párete saranno allora date
(sempre approssimativamente) da:



 .

2
.
 ∂ϕ .

..
..
∂
ϕ
∂
ϕ
 H 
H
 1j
 
3j
2j

⋅ − δθ1 +
 ∂θ .δ nj − c ⋅ ∂θ ⋅ δ nj +  C  ⋅ ∂θ ⋅ δ nj − ... 
 1
 
1
a
1
 a

j 
 
.

µ
τ 2 = ⋅ (Vθ2 − δθ2 ) = c.s. con sostituzione del pedice 2 al pedice 1

λ

τ1 =
.
ρ ν
µ
⋅ (Vθ1 − δθ1 ) = a · ⋅
λ
λ
∑
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mentre la pressione ∆p su Sa continuerá ad essere data
dall’espressione (1.16) sin qui usata.
La genérica forza idrodinamica nodale esercitata dal
liquido sulla diga sará allora data da:
cos θ1 x cos θ 2 x cos Vu x  τ1 
  
cos θ2 y cos Vu y  ⋅ τ 2  ·Ni(x,y,z)·dSu
 
s u cos θ1 z cos θ 2 z cos Vu z  ∆p 
{Fhi } = H 2 ∫ cos θ1 y
•
e quindi esprimibile in funzione delle componenti cartesiane degli spostamenti dei nodi di Sa e delle loro
derívate temporali, tenuto contó che:
δ θ1 


δθ2  =
δ 
 n 
T
cos θ1 x cos θ2 x cos ν u x  δ x 

  
cos θ1 y cos θ2 y cos ν u y  ⋅ δ y 
cos θ1 z cos θ2 z cos ν u z  δz 

  
Si consideri ora che l’ordine di grandezza dello spessore
2λ. dello strato limite puó essere valutato imponendo che
si giunga dalla velocitá relativa zero alia párete alia
velocitá relativa Vrel corrispondente al campo di moto a
potenziale tramite un profilo parabólico tale che il
prodotto:
Vrel ⋅ 4 λ
= 2000
ν
(condizione di Reynolds): ne consegue:
λ≅
500· ν
Vrel
τ=
ρa·ν·Vrel ρa·V2rel
≅
500
λ
e quindi
Poiché, nei limiti della presente trattazione linearizzata,
abbiamo trascurato nell’espressione di ∆p gli effetti del
Tipo
ρa ⋅ V 2
2
proporzionali al quadrato delle velocitá del
fluido, é evidente che le forze idrodinamiche tangenziali
sul paramento bagnato sonó anch’esse, a maggior
ragione, da trascurare.
Resterebbe da valutare l’effetto delle tensioni tangenziali
nello strato limite adérente al fondo bagnato. Come
accennato, questo effetto é di piü difficile valutazione
poiché occorrerebbe tener contó della propagazione di
onde acustiche tipo S
negli strati rocciosi sottostanti all’invaso, imponendo
condizioni analoghe alia (1.12), che dobbiamo peraltro
mantenere, su Sh Sappiamo pero che su tale superficie
non possiamo imporre piú di una condizione,
nell’ambito dell’assunzione iniziale di moto a potenziale
di velocitá.
Euristicamente potremmo pensare di imporre una
condizione mista ricavata da una somma pésala delle due
(o meglio tre, tenendo contó delle due direzioni
tangenziali alia superficie del fondo bagnato), con pesi
proporzionali, ad es., all’entitá delle rispettive
componenti tensionali. Con ragionamenti analoghi ai
precedenti si riconosce pero che ció farebbe intervenire,
come termini addizionali, ancora dei quadrati delle
velocitá [del campo di moto a potenziale] relative al
COMPORTAMIENTO
DINÁMICO DE PRESAS
fondo e perianto riteniamo legittimo il trascurare anche
tale effetto neilimiti della presente trattazione.
(4) Infine, sostituendo negli sviluppi precedenti al moto
dei punti nodali di Su il moto (= velocitá e successive
derívate temporali) dei punti nodali di Sh, il
procedimento proposto si può estendere, con ovvie
modifiche (saran-no da cambiare le B.C. su Su e su Sh:
p.es. si dovranno ora imporre su Su condizioni di
superficie impermeabi-le, e su Sh condizioni simili a
quelle viste prima su Su), alia determinazione di un
vettore di forze esterne {F ca(b)} daespressioni analoghe
alla(1.16), rappresentante l’eccitazione dinamica causata
alla diga dalle sovrapressioni idrodinamiche generate da
moti “autonomi” del fondo, purchè ovviamente questi
siano noti in funzione del lempo.
Si deve inlendere che il moto definito a tale scopo —per
ogni nodo giacente sul fondo bagnato— sia il moto quale
si realizzerebbe a invaso vuoto, o meglio in assenza di
reazioni da parte del sistema diga-invaso; infatti tali
reazioni sono rappresentate automaticamente dall’ultimo
termine a secondo membro della (2.2) nel modo visto
sopra in dettaglio.
CONCLUSIONI
L’approccio qui delineato permette di trattare in modo
“naturale” la dinamica accoppiata del sistema
diga/invaso/ fondo elastico del serbatoio, con condizioni
iniziali di moto arbitrarie.
Corrispondentemente l’ordine differenziale dei termini
di accoppiamento nell’equazione matriciale dinamica
cresce in misura indefinita. Mentre il significato
fisicomatematico di tale fatto merita ulteriori riflessioni,
si ritiene che dal punto di visla pratico esso abbia tutto
sommato non eccessiva rilevanza, nei limiti che sono
stati illustrati in precedenza.
Le equazioni terza e quarta delle (2.3) illustrano in
termini assai compendiosi la dipendenza dalle frequenze
modali e la natura in genere complessa delle matrici di
“masse aggiunte” e di “smorzamento”. Di più, esse
chiariscono l’importanza del rapporto
quindi della comprimibilità del liquido (queslione
analizzata in innumerevoli studi), nonchè della
profondità di invaso H .
A loro volta le B.C. (1.14) evidenziano il ruolo
fondamentale del rapporto delle impedenze acustiche del
liquido e della roccia del fondo nel determinare l’entità
dello smorzamento delle vibrazioni naturali per
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irraggiamento acustico verso l’infinito (cioè senza
riflessione) dalla parte bagnata del fondo del serbatoio.
Infine si intravede la possibilità (almeno in casi
particolari) dell’esistenza di “modi propri aperiodici”.
Quantunque l’importanza pratica di tali modi sia in ogni
caso scarsa, essi completano il quadro delle possibili
interazioni idrodinamico-meccaniche del sistema.
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