Actividades - Educastur Hospedaje Web

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 1
PÁGINA 68
Supón que tienes una hoja de papel de 0,14 mm de grosor. Cada vez que
la pliegas, se duplica su grosor. Cuando has hecho seis o siete dobleces,
ya no puedes doblarla más, pero imagina que pudieras hacerlo diez,
veinte e, incluso, 50 veces.
¿Qué grosor crees que alcanzaría ese papel?
1
Comprueba que con diez dobleces superarías el grosor del libro más gordo de la
biblioteca. Y, más asombroso, con 22 dobleces obtendrías un grosor mayor que
la altura de la torre Eiffel (321 m).
Para hacer tus cálculos, utiliza el factor constante, 2 ** o bien 2 =\*2, dependiendo del tipo de calculadora que tengas.
La hoja tiene un grosor de 0,14 mm. Al doblarla 10 veces, el grosor sería de:
210 · 0,14 mm = 1 024 · 0,14 mm = 143,36 mm = 14,336 cm
Al hacer 22 dobleces, tendríamos:
222 · 0,14 = 4 194 304 · 0,14 = 587 202,56 mm = 587,20256 m
2 ¿Cuántos dobleces necesitarías para superar la altura del Everest (8 848 m)?
(Busca información en internet de la última medición del Everest.)
26 dobleces.
3 ¿Cuál sería el grosor si lo pudieras doblar 50 veces? Compáralo con la distancia
de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros).
157 626 000 km > distancia de la Tierra al Sol
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ANTES DE COMENZAR, RECUERDA
1
Di, sin usar la calculadora, lo que obtendrías en cada una de las secuencias.
Luego, compruébalo utilizando la calculadora.
a) 5 =\+ 2 ======
a) 2 ++ 5 ======
b) 5 ++ 2 ======
b) 2 =\+ 5 ======
c) 2 ** 5 ======
c) 5 =\* 2 ======
d) 5 ** 2 ======
d) 2 =\* 5 ======
e) 10 ++ 7 ======
e) 7 =\+ 10 ======
f) 10 ** 7 ======
f) 7 =\* 10 ======
g) 15 ±++ 100 ======
g) 100 =\+g 15 ======
h) 0,5 ** 1 600 ======
h) 1 600 =\* 0,5 ======
a) 17
e) 67
Unidad 3. Progresiones
b) 32
f ) 7 000 000
c) 320
g) 10
d) 31 250
h) 25
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 2
2 Calcula:
a) (√2 )19
b) (√3 )10
c) (√3 )11
a) (√2 )19 = (√2 )2 · 9 + 1 = (√2 )2 · 9 · √2 = 29 · √2 = 512 · √2
b) (√3 )10 = (√3 )2 · 5 = 35 = 248
c) (√3 )11 = (√3 )2 · 5 + 1 = (√3 )2 · 5 · √3 = 35 · √3 = 248 · √3
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Una actividad
¿A cuál de las sucesiones de la derecha corresponde esta torre?
a) 1, 5, 9, 13, 17, …
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
d) 1, –3, 9, –27, 81, –243, …
e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
f) 170, 120, 70, 20, –30, –80, …
g) 1, 3, 6, 8, 16, 18, 36, …
Corresponde a la sucesión a).
1
Averigua el criterio con el que se ha formado cada una de las sucesiones de arriba
y añade tres términos más a cada una.
a) Criterio: cada término se obtiene sumando 4 al anterior.
21, 25, 29, …
b) Criterio: los términos son los cuadrados de los números naturales.
49, 64, 81, …
c) Criterio: cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2, o bien, son las
sucesivas potencias de 2: 21, 22, 23, …
128, 256, 512, …
d) Criterio: cada término se obtiene multiplicando el anterior por –3.
729, –2 187, 6 561, …
e) Criterio: cada término se obtiene sumando los dos anteriores.
13, 21, 34, …
f ) Criterio: cada término se obtiene restando 50 al anterior.
–130, –180, –230, …
g) Criterio: los términos pares se obtienen sumando 2 al anterior, y los términos impares se obtienen multiplicando el anterior por 2.
38, 76, 78, …
Unidad 3. Progresiones
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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2
Forma cinco sucesiones con criterios similares a los anteriores. En algún caso, invéntate el criterio.
Respuesta abierta.
Ejemplo:
a) Criterio: obtenemos cada término multiplicando el anterior por –2.
3, –6, 12, –24, 48, …
b) Criterio: obtenemos cada término sumando 1,5 al término anterior.
1; 2,5; 4; 5,5; 7; 8,5; …
c) Criterio: obtenemos los términos pares multiplicando el anterior por –3, y los impares, sumando –3 al anterior.
1, –3, –6, 18, 15, – 45, – 48, …
d) Criterio: los términos son los cubos de los números naturales.
1, 8, 27, 64, 125, 216, …
e) Criterio: obtenemos cada término restando 8 del anterior.
100, 92, 84, 76, 68, 60, …
3
Indica cuál es la relación
c2 c3
= = … de la sucesión c) de arriba.
c1 c2
La relación es 2.
4
Establece la relación (cociente) entre cada dos términos consecutivos de la sucesión d) que aparece arriba.
La relación es –3.
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6
Escribe los cinco primeros términos de:
gn = n3
hn = n2 – 3n + 7
in = n – 3
n+4
gn: 1, 8, 27, 64, 125, …
hn: 5, 5, 7, 11, 17, …
in: –2 , –1 , 0, 1 , 2 , …
5 6
8 9
7
Forma una sucesión recurrente con estos datos:
j1 = 2
j2 = 3
jn = jn – 2 + jn – 1
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Unidad 3. Progresiones
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8
Inventa otras dos sucesiones recurrentes con datos distintos a los anteriores.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) a1 = 3, a2 = 5, an = 2an – 1 + an – 2
Sucesión: 3, 5, 13, 31, 75, 181, …
b) b1 = 1, b2 = 3, bn = bn – 1 + (bn – 2)2
Sucesión: 1, 3, 4, 13, 29, 198, 1 039, …
9
Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen por término general:
n –1
b) bn = 3 1
a) an = 3 + 5 (n – 1)
2
2
c) cn = (n – 1) (n – 2)
d) dn = n – n
()
b) 3, 3 , 3 , 3 , …
2 4 8
d) 0, 2, 6, 12, …
a) 3, 8, 13, 18, …
c) 0, 0, 2, 6, …
10
Añade un nuevo término y descubre la ley de recurrencia de cada una de las siguientes sucesiones:
a) 1, –4, 5, –9, 14, –23, … (Diferencia)
b) 1, 2, 3, 6, 11, 20, … (Relaciona cada elemento con los tres anteriores)
c) 1; 2; 1,5; 1,75; … (Semisuma)
d) 1, 2, 2, 1, 1/2, 1/2, 1, … (Cociente)
a) Nuevo término: 37
Ley de recurrencia: an = an – 2 – an – 1
b) Nuevo término: 37
Ley de recurrencia: bn = bn – 1 + bn – 2 + bn – 3
c) Nuevo término: 1,625
Ley de recurrencia: cn =
cn – 1 + cn – 2
2
d) Nuevo término: 2
Ley de recurrencia: dn =
11
dn – 1
dn – 2
Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea an = an – 1 + n. (Dale al primer término el valor que quieras).
Respuesta abierta.
Ejemplo: 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, …
Unidad 3. Progresiones
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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a) Comprueba que el término general de la sucesión –1, 1, –1, 1, –1, 1, … es
sn = (–1)n.
b) Halla el término general de estas sucesiones:
an 8 1, –1, 1, –1, 1, –1, … bn 8 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, …
a) s1 = (–1)1 = –1
s2 = (–1)2 = 1
s3 = (–1)3 = –1
s4 = (–1)4 = 1
Los términos sn con n par son 1, y cuando n es impar son iguales a –1.
Coincide con los términos de la sucesión descrita.
b) an = (–1)n + 1
bn = (–1)n + 1 · n
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Una actividad
Añade cuatro términos a cada una de estas sucesiones. Si decimos que en a) la diferencia es 3, ¿cuál será la diferencia en las demás?
a) 2, 5, 8, 11, 14, 17, …
b) 120, 140, 160, 180, 200, 220, …
c) 9, 7, 5, 3, 1, –1, –3, –5, …
d) 5,83; 5,87; 5,91; 5,95; 5,99; 6,03; …
a) 20, 23, 26, 29, …
b) 240, 260, 280, 300, …
c) –7, –9, –11, –13, …
d) 6,07; 7,11; 6,15; 6,19; …
1
diferencia: 3
diferencia: 20
diferencia: –2
diferencia: 0,04
El primer término de una progresión aritmética es s1 = 5 y la diferencia es 2,5.
Escribe sus diez primeros términos.
Haz lo mismo para t1 = 20 y d = –3.
Progresión sn: 5; 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5; 25; 27,5; …
Progresión tn: 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4, –7, …
2
Calcula, para las progresiones de arriba:
b36
c31
d1 000
b) b1 = 120 y d = 20 8 bn = b1 + (n – 1) · d = 120 + (n – 1) · 20 =
= 120 + 20n – 20 = 100 + 20n
Así: b36 = 100 + 20 · 36 = 820
Unidad 3. Progresiones
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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c) c1 = 9 y d = –2 8 cn = 9 + (n – 1) · (–2) = 9 – 2n + 2 = 11 – 2n
Así: c31 = 11 – 2 · 31 = –51
d) d1 = 5,83 y d = 0,04 8 dn = 5,83 + (n – 1) · 0,04 = 5,83 + 0,04n – 0,04 =
= 5,79 + 0,04n
Así: d1 000 = 5,79 + 0,04 · 1 000 = 45,79
3
Halla el término general de las progresiones b), c) y d). (Intenta hacerlo sin aplicar la fórmula, simplemente razonando).
bn = 100 + 20 · n
4
cn = 11 – 2 · n
dn = 5,79 + 0,04 · n
a) Si dos términos de una progresión son s1 = 6 y s3 = 9, averigua el valor de la
diferencia, d.
b) Halla el término general de la progresión, sn.
a) d = 1,5
b) sn = 6 + 1,5 (n – 1) = 6 + 1,5n – 1,5 = 4,5 + 1,5n
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5
Halla la suma de todos los números impares menores que 100.
El término general de los números impares es an = 2n – 1. El último impar menor
que 100 es 99, que resulta ser a50. Así, la suma es:
(a + a ) · 50 (1 + 99) · 50
=
= 2 500
S50 = 1 5o
2
2
6
a) Si a1 = 5 y a2 = 7, calcula a40 y S40.
b) Si b1 = 5 y b2 = 12, calcula S32.
a) a1 = 5 y d = 2 8 an = 5 + (n – 1) · 2 = 3 + 2n
Luego: a40 = 3 + 2 · 40 = 83 y S40 = (5 + 83) · 40 = 1 760
2
b) b1 = 5 y d = 7 8 bn = 5 + (n – 1) · 7 = –2 + 7n
Así: b32 = –2 + 7 · 32 = 222
Luego: S32 = (5 + 222) · 32 = 3 632
2
7
Si el primer término de una progresión es c1 = 17 y el quinto es c5 = 9, halla la
suma S20.
Como c 1 = 17 y c 5 = 9 8 c 1 = 17 y d = –2
Así: cn = 17 + (n – 1)(–2) = 19 – 2n; c 20 = 19 – 2 · 20 = –21
Luego: S20 = (17 – 21) · 20 = –40
2
Unidad 3. Progresiones
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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8
La suma 1 + 2 + 3 + 4 + … + n de los n primeros números enteros positivos es
60 378. Calcula el valor de n.
Sn = (1 + n) · n = 60 378 8 n + n 2 = 60 378 · 2 = 120 756 8
2
8 n 2 + n – 120 756 = 0
–1 ± √ 1 – 4 · 1 · (–120 756) –1 ± 695
=
2
2
Por tanto, el valor pedido es 347.
n=
n1 = 347
n2 = –348 8 No tiene sentido.
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Con calculadora
Añade dos términos a cada una de las progresiones siguientes:
a) 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
b) 3, 30, 300, 3 000, …
c) 80; 40; 20; 10; 5; 2,5; …
d) 80; 8; 0,8; 0,08; …
e) 3, –6, 12, –24, 48, –96, …
a) 192, 384, …
b) 30 000, 300 000, …
c) 1,25; 0,625; …
d) 0,008; 0,0008; …
e) 192, –384, …
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1
Construye una progresión geométrica cuyo primer término es 125 y cuya razón
es 0,4.
125; 50; 20; 8; 3,2; 1,28; 0,512; …
2
En una progresión geométrica, a1 = 0,625 y a3 = 0,9. Halla r y los seis primeros términos.
0,9 = 0,625r 2 8 r 2 = 1,44 8 r = ±1,2
Por tanto, hay dos progresiones:
• r = 1,2
0,625; 0,75; 0,9; 1,08; 1,296; 1,5552; …
• r = –1,2
0,625; –0,75; 0,9; –1,08; 1,296; –1,5552; …
Unidad 3. Progresiones
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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3
En una progresión geométrica de términos positivos, a1 = 2 y a3 = 6. Halla an,
a11 y a12.
6 = 2 · r 2 8 r 2 = 3 8 r = ±√3
Como es una progresión de términos positivos, la razón también lo es.
r = √3
an = 2 · (√3 )n – 1
a11 = 2 · (√3 )10 = 2 · 35 = 486
a12 = 2 · (√3 )11 = 2 · 35 · √3 = 486√3
4
En una progresión geométrica, el primer término es a1 = 5 y la razón es r = 1,4.
Averigua, con ayuda de la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es inferior a 1 000 000.
a37 = 911 127,781 °
¢ 8 Es a37.
a38 = 1 275 578,893 £
5
En una progresión geométrica, a1 = 1 000 y r = 0,8. Averigua, con la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es mayor que 1.
a31 = 1,237 °
¢ 8 Es a31.
a32 = 0,99 £
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6
Siguiendo el procedimiento utilizado para hallar Sn , calcula 3 + 6 + 12 + 24 +
+ 48 + 96 + 192 + 384.
8
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 3 · 2 – 3 = 765
2–1
7
¿Cuántos denarios se llevó, en total, el centurión del problema resuelto 4 de la página anterior?
16
S16 = 1 · 2 – 1 = 65 535 denarios
2–1
8
Calcula la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica que
cumpla a1 = 8,192 y r = 2,5.
10
S10 = 8,192 · 2,5 – 8,192 = 52 077,872
2,5 – 1
9
Efectúa la suma 1 + 3 + 9 + 27 + … + 37.
8
1 + 3 + 9 + … + 37 = 1 · 3 – 1 = 3 280
3–1
Unidad 3. Progresiones
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 9
PÁGINA 77
10
En una progresión geométrica, a1 = 8 y r = 0,75. Calcula la suma de sus infinitos términos.
8
= 8 = 32
[email protected] =
1 – 0,75 0,25
11
En una progresión geométrica, a1 = 30 y r = –0,2. Calcula la suma de “todos”
sus términos.
30
[email protected] =
= 30 = 25
1 – (–0,2) 1,2
12
En una progresión geométrica su cuarto término es a4 = 10 y el sexto es a6 = 0,4.
Halla: la razón, r ; el primer término, a1; el octavo término, a8; la suma de los
ocho primeros términos, S8; y la suma de sus infinitos términos.
a6 = a4 · r 2 8 0,4 = 10 · r 2 8 r 2 = 0,04 8 r = ±0,2
r = 0,2 8 10 = a1 · 0,23 8 10 = a1 · 0,008 8 a1 = 1 250
a8 = a1 · 0,27 8 a8 = 1 250 · 0,27 8 a8 = 0,016
8
S8 = 1 250 – 1 250 · 0,2 = 1 562,496
1 – 0,2
[email protected] = 1 250 = 1 562,5
1 – 0,2
r = –0,2 8 10 = a1 · (–0,2)3 8 a1 = –1 250
a8 = –1 250 · (–0,2)7 = 0,016
8
S8 = –1 250 – (–1 250) · (–0,2) = –1 041,664
1 – 0,2
)
[email protected] = –1 250 = –1 250 = 1 041,6
1 – (–0,2)
1,2
PÁGINA 78
1
Depositamos en un banco 6 000 €, al 5% anual, al comienzo de un cierto año.
Averigua el capital disponible al final de cada año, durante 6 años.
1 año
2 años
3 años
4 años
5 años
6 años
2
8
8
8
8
8
8
C = 6 000 · 1,05 = 6 300 €
C = 6 000 · (1,05)2 = 6 615 €
C = 6 000 · (1,05)3 = 6 945,75 €
C = 6 000 · (1,05)4 = 7 293,04 €
C = 6 000 · (1,05)5 = 7 657,69 €
C = 6 000 · (1,05)6 = 8 040,57 €
Si al comienzo de cada año ingresamos 6 000 € al 5% anual, ¿de qué capital dispondremos al final del sexto año?
7
S6 = 6 000 · (1,05) – 6 000 · 1,05 = 42 852,05 €
1,05 – 1
Unidad 3. Progresiones