Miceli - W3.UniRoma1.it

Nash-Cournot in 2 Stadi
Maria-Augusta Miceli∗
Dipartimento di Economia e Diritto
Università di Roma "La Sapienza"
Lezioni di Economia Industriale
October 9, 2014
Immaginare un mercato con 4 imprese (I1, I2, I3, I4), le quali giochino a due a due le strategie di Nash (=
Duopolio di Cournot). Usiamo i dati dell’esercizio 4, ma la funzione di domanda sarà:
p (q1 , q2 , q3 , q4 ) = a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4
e sia b = 1 e k = 0 per tutte le imprese. Nello stadio 2, risolvere l’equilibrio di Nash-Cournot per le I3 e
I4 per incognite q1 e q2. Usare i risultati trovati q3* e q4* nella funzione di domanda al posto di q3 e q4 e
procedere con l’equilibrio di Nash-Cournot per la I1 e I2.
Calcolare le quantità finali q1, q2, q3, q4 (NB. saranno a due a due simmetriche).
Calcolo a ritroso (Backward Induction, BWI)
All’ultimo stadio ottimizzano le I3 e I4
max π3 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q3 − kq3
q3
max π3 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q3 − kq4
q4
Calcolo funzioni di reazione
∂π3 (q1 , q2 , q3 , q4 )
∂q3
:
(−b) q3 + (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) − k = 0
= a − k − bq1 − bq2 − 2bq3 − bq4 = 0
da cui
q3
∂π4 (q1 , q2 , q3 , q4 )
∂q4
= R3 (q4 |q1 , q2 )
a − k q1 q2 q4
−
−
−
=
2b
2
2
2
: (−b) q4 + (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) − k = 0
: a − k − bq1 − bq2 − bq3 − 2bq4 = 0
q4
= R4 (q3 |q1 , q2 )
a − k q1 q2 q3
−
−
−
=
2b
2
2
2
Intersezione fra le due curve di reazione: e quazione nelle due incognite q3 e q4
a − k − bq1 − bq2 − 2bq3 − bq4
a − k − bq1 − bq2 − bq3 − 2bq4
= 0
= 0
∗ Department of Economics and Law, University of Rome "Sapienza" - 9 via del Castro Laurenziano - 00161 Roma - Italy. Email:
[email protected]
1
q3∗
=
q4∗
=
1
(a − k − bq1 − bq2 )
3b
1
(a − k − bq1 − bq2 )
3b
(1)
(2)
Inseriamo i risultati nelle funzioni di domanda e quindi di profitto della I1 e I2
max π1 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q1 − kq1
q1
µ
µ
¶
µ
¶¶
1
1
(a − k − bq1 − bq2 ) − b
(a − k − bq1 − bq2 )
=
a − bq1 − bq2 − b
q1 − kq1
3b
3b
1
(a − k − bq1 − bq2 ) q1
=
3
max π2 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q2 − kq2
q2
µ
µ
¶
µ
¶¶
1
1
(a − k − bq1 − bq2 ) − b
(a − k − bq1 − bq2 )
=
a − bq1 − bq2 − b
q2 − kq2
3b
3b
1
(a − k − bq1 − bq2 ) q2
=
3
Calcoliamo le funzioni di reazione delle imprese I1 e I2
∂π 1 (q1 , q2 )
∂q1
:
=
1
1
(−b) q1 + (a − k − bq1 − bq2 ) = 0
3
3
1
1
2
1
a − k − bq1 − bq2 = 0
3
3
3
3
da cui
q1
= R1 (q2 )
a − k q2
−
=
2b
2
Per simmetria, senza bisogno di rifare i calcoli
∂π 2 (q1 , q2 )
∂q2
:
=
1
1
(−b) q2 + (a − k − bq1 − bq2 ) = 0
3
3
1
1
1
2
a − k − bq1 − bq2 = 0
3
3
3
3
q2
= R2 (q1 )
a − k q1
−
=
2b
2
Intersezione
1
a−
3
1
a−
3
1
k−
3
1
k−
3
2
bq1 −
3
1
bq1 −
3
1
bq2
3
2
bq2
3
Abbiamo le quantità di Nash-Cournot al I stadio
q1∗
=
q2∗
=
1
(a − k)
3b
1
(a − k)
3b
2
= 0
= 0
Sostituendo tali quantità nelle soluzioni intermedie (1) , (2)
¶
µ
1
1
1
∗
q3 =
a − k − b (a − k) − b (a − k) =
3b
3b
3b
¶
µ
1
1
1
∗
q4 =
a − k − b (a − k) − b (a − k) =
3b
3b
3b
1
(a − k)
9b
1
(a − k)
9b
Il prezzo
p (q1∗ , q2∗ , q3∗ , q4∗ ) = a − bq1∗ − bq2∗ − bq3∗ − bq4∗
1
1
1
1
= a − b (a − k) − b (a − k) − b (a − k) − b (a − k)
3b
3b
9b
9b
8
1
a+ k
=
9
9
2. Il prezzo di mercato.
8
1
p∗ = a + k
9
9
3. I profitti (NB. saranno a due a due simmetrici).
π ∗1
= (p∗ − k) q1∗
¶
µ
8
1
1
a+ k−k
(a − k)
=
9
9
3b
1
(a − k)2
=
27b
π ∗3
= (p∗ − k) q3∗
¶
µ
8
1
1
a+ k−k
(a − k)
=
9
9
9b
1
(a − k)2
=
81b
µ
¶2
1 a−k
=
b
9
stesso per π∗2
stesso per π∗4 .
Dati i parametri b = 1, k = 0, si ottiene
q1∗ = q2∗ =
q3∗
a
1
(a − k) =
3b
3
= q4∗ =
=
a
1
(a − k) =
3b
9
1 ∗
q
3 1
8
a
1
p∗ = a + k =
9
9
9
2
a
π ∗1 = π ∗2 =
9·3
a2
π∗1 = π ∗2 = 2
9
3
(3)
(4)