```Prof. Enrique Mateus Nieves
Differential Equations
VARIATION OF PARAMETERS
In mathematics, the variation of parameters, also known as variation of constants, is a general method
for solving inhomogeneous linear differential equations. For inhomogeneous linear differential
equations of the first order is usually possible to find solutions by integrating factor or undetermined
coefficients with considerably less effort, however, these methods are influenced by heuristics that
involve guessing plus they do not work with all linear differential equations homogeneous.
Parameter variation ranges from partial differential equations, specifically problems with
inhomogeneous differential equations until the evolution of linear differential equations as the heat
equation, the wave equation and the equation of the vibrating platform. With this configuration, the
method is more commonly known as the principle of Duhamel, named after Jean-Marie Duhamel who
was the first to apply this method to solve the inhomogeneous differential equation of heat. Sometimes
the method of variation of parameters is called the principle of Duhamel and vice-versa. This is a
method for solving inhomogeneous linear equations, this only applies to a restricted class of equations.
However, the advantage is that, when this method is applicable, it is usually easier to use than other
methods.
a0 y
n 
 a1 y
 n 1 
   an y  Q x 
This method consists in proposing the particular solution as
y
p
 u y1  v y2
con
u  y1  v y2  0
sinc
y   f  x  y   g  x  y  0
since the general solution of a differential equation of the form:
y  c1 y 1  x   c 2 y 2  x  .
is
Then we derive:



y p  u y1  v y2
u y1

 y

p
 u y1




 u y 1  vy 2  v  y 2





 u y 1  vy 2  v  y 2  f  x   uy 1  vy 2   g  x   uy


Substituting in the inhomogeneous equation:
1
 vy
2

Q x 
We took a u and v as a common factor:






u  y 1  f  x  y 1  g  x  y 1   v  y 2  f  x  y 2  g  x  y 2   u y 1  v y 2  Q  x 




become zero:
u y 1  v y 2  0
W 
y1
y1
Then integrated.
y
y2

y2


u y 1  v y 2  Q  x 
0

;
W1 
as
y2
f x  y2

;
W2 
y1
y1
0

f x 
y1  y 2
are solutions
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In general the procedure can be summarized in 6 steps as follows:
1. The standard form of the differential equation for the ratio y  is estimated to be one.
2. We solve the homogeneous equation and obtain the roots of the auxiliary equation and its
complementary role.
3. We calculate the Wronskian
4. We calculate the Wronskian of each ID to get u  and v  whereas
u 1 
w1
y
w
u 2 
w2
w
5. We integrate to obtain u , v and the particular solution
6. To obtain the general solution we add the particular solution plus complementary.
The following examples are conducted in Spanish
Ejemplo 1.
2x
Solucionar la ecuación y   4 y   4 y   x  1  e
Solución: la ecuación auxiliar es: m  4 m  4   m  2   0 de ahí que y c  c 1 e
2
2
identificamos y 1  e

W e
2x
2x
, xe

e
W2 
2e
2x
xe
2x
2x e
0
x
2x
, y y 2  xe
2x
2e
e
2x
 1 e
2x
2x
 e
2x
 c 2 xe
2x
ahora
para el tercer paso calculamos los Wronskiano así:
2x
2x
2x
 e
  x  1 e
4x
W1 
;
0
x
xe
 1 e
2x
2xe
2x
2x
 e
   x  1x e
2x
4x
4x
Ahora como cuarto paso calculamos u 1 y u 2
u 1  
x
 1  xe
e
4x
4x
 x
2
u 2 
 x;
x
 1 e
e
Como quinto paso integramos para obtener u así:
4x
4x
u1 
 x  1.
x
3
3

x
2
;
x
u2 
y
2
2
 x.
de donde
2
 x

 x
x  2x  x
x  2x
2x
e  
e
yp  

 x  xe  







3
2
2
6
2






3
2
2
3
2
Ahora como sexto y último paso, sumamos la solución particular más la complementaria y obtenemos la
solución general,
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 x
x  2x
e
 



2 
 6
3
y  y c  y p  c1e
2x
 c2 xe
2x
2
Ejemplo 2.
2
2
Resolver la ecuación lineal no homogénea: x y   2 y  x (1)
2
Empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones: y  x v o y  x v
(2) que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de
Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer
orden no separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la
2
1
ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente: y  x u  x v (3),
-1
Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v. Para la ecuación x y   2 y  x , en primer
lugar, se deben calcular y  y y  para sustituir y  en (1). Según la regla del producto se obtiene:
2
y   2 xu  x u   x v  x
2
2
1
v
2
(4)
Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No
obstante, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida
por dos: puede haber algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación
dada. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los
términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha cancelación simplificará el proceso. El enfoque
correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los
términos u  y v  que aparecen en (4) se cancelen unos con otros: x 2 u   x  1 v   0 (5). Entonces podemos
2
calcular y  directamente de y   2 xu  x v
este
x
2
3
2
El resultado, según la regla del producto, es: y   2 u  2 x u   2 x v  x v  Cuando se sustituye
y
(3)
en
la
ecuación
(1),
se
llega
a:
2 u  2 x u   2 x
3
v x
2


v  2 x u  2 x
2
1

v  x
2
En el que se cancela un número de términos, y sólo nos queda: 2 x 3 u   v   x 2 (6) Así, para que u
satisfacen la ecuación (5). Así tenemos los dos requisitos:
x u  x
2
1
v  0
2 x u   v  x
3
2
(5)
(6)
Que son precisamente dos ecuaciones lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas u 
y v  . Resolver el sistema de ecuaciones para u  y v  en términos de x es relativamente fácil; luego, u y v
se obtienen por integración.
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u 
Si se multiplica la ecuación (5) por x y se suma el resultado a (6), tenemos: 3 x 3 u   x 2 y entonces:
1
1
x
Ahora se puede sustituir el resultado anterior en (5) o bien en (6) para producir v  . El
3
u 
v  

1
3
x
1
3
1
x
2
dx 
y entonces:
1
3
v  
y
ln x
1
3
x dx  
2
1
9
x
3
Omitimos las constantes de integración puesto que sólo se necesita una solución. Por último, volviendo a
(3), tenemos:
2
y  x u  x

1
3
1
v  x
2
x ln x -
1
9
x
2
 13
ln x   x
1

1
9
x
3

2
Y tenemos así una solución de la ecuación (1). La solución completa de la ecuación es:
2
2
2
1
y  31 x ln x - 91 x  c 1 x  c 2 x
En cuya expresión se ha sumado la solución de la ecuación homogénea
relacionada como es usual. Sin embargo, es posible alguna simplificación. Se pueden combinar dos
términos y escribir: y  31 x 2 ln x  Ax 2  bx  1 donde se ha reemplazado c 1  - 91 por la constante
arbitraria A más simple.
Ejemplo 3.
4 y   36 y  csc 3 x
Resolver la ecuación lineal no homogénea:
Primero se es escribe la ecuación en la forma estándar dividiendo entre 4: y   9 y 
determinamos
la ecuación auxiliar
m
2
9  0
cos 3x
sen
- 3 sen 3x
w1 
0
1
4
csc 3x
Integrando tenemos:
u 2 
1
36
ln
sen 3x
u 1 
sen
3x
 
3 cos 3 x
w1
w
 
1
12
1
w2 
,
4
y
u 2 
w2
w

csc 3 x
cuyas raíces son m 1  3 i y m 2   3 i , la función
complementaria es y c  c 1 cos 3 x  c 2 sen 3x. usando y 1  cos 3 x y y 2  sen 3 x , y f  x  
obtenemos los Wronskiano:
w  cos 3 x , sen 3 x  
1
4
1 cos 3x
3x
 3
3 cos 3 x
cos 3x
- 3sen 3x
0
1
4
 
csc 3x
de donde se obtiene
12 sen 3x
. Así una solución general de la ecuación es
u 1 
1 cos 3x
4 sen
1
12
x
y
3x
1
4
csc 3 x ,
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y  yc  y
p
 c 1 cos 3x  c 2 sen 3x -
1
1
x cox 3x 
12
sen 3x ln
sen 3x

36
Ejercicios:
Resolver las ecuaciones diferenciales por medio de variación de parámetros.
1.
y   y  sec x
2.
y   y  cos
2
x
3.
y   4 y 
e
2x
x
4.
y   9 y 
9x
e
8.
3x
y   3 y   2 y  sen e
11 . 4 y   4 y   y  e
x
2
5.
y   3 y   2 y 
9.
y   2 y   y  e
x
1 x
2
12
1
1 e
t
x
ln t
7.
y   2 y   y 
e
x
1 x
10 . 2 y   2 y   y  4
3 y   6 y   6 y  e sec
x
2
x
x
Referencias:
Dennis G Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Edición 8. Editor Cencage learning Editores. Mexico.2006
pág. 158-164
Elsgoltz: Ecuaciones diferenciales y Cálculo variacional. Mir, 3a ed.
Granville, "Calculo diferencial e integral", editorial LIMUSA. ISBN 968-18-1178-X
Simmons, G.F.: Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill, 1993
Stewart, J. “Cálculo Multivariado. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart.
Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999
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